Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Determine os possíveis valores reais de [tex]x[/tex] que satisfazem a igualdade [tex]\boxed{\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3}[/tex].
Solução
Acompanhe passo a passo a resolução.
- Elevando cada membro da equação [tex]\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3[/tex] ao cubo, temos:
[tex]\qquad (\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9})^3=3^3[/tex]
[tex]\qquad x+9-3(\sqrt[3]{x+9})^2\sqrt[3]{x-9}+3\sqrt[3]{x+9}(\sqrt[3]{x-9})^2-(x-9)=27\quad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] - Simplificando a igualdade [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex], temos:
[tex]\qquad -3(\sqrt[3]{x+9})^2\sqrt[3]{x-9}+3\sqrt[3]{x+9}(\sqrt[3]{x-9})^2=27-18=9\quad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] - Dividindo a equação [tex] \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] por 3, obtemos:
[tex]\qquad -(\sqrt[3]{x+9})^2\sqrt[3]{x-9}+\sqrt[3]{x+9}(\sqrt[3]{x-9})^2=3\quad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] - Colocando em evidência os fatores [tex]\sqrt[3]{x+9}[/tex] e [tex]\sqrt[3]{x-9}[/tex] em [tex] \textcolor{#800000}{(iii)} \, [/tex], podemos afirmar que:
[tex]\qquad \sqrt[3]{x+9}\sqrt[3]{x-9}(-\sqrt[3]{x+9}+\sqrt[3]{x-9})=3\quad \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex] - E usando em [tex] \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex] o fato de que [tex]\boxed{-\sqrt[3]{x+9}+\sqrt[3]{x-9}=-3}[/tex], tem-se que:
[tex]\qquad \sqrt[3]{x+9}\sqrt[3]{x-9}(-3)=3 \quad \textcolor{#800000}{(v)}[/tex] - Logo, segue de [tex] \textcolor{#800000}{(v)}[/tex] que:
[tex]\qquad \sqrt[3]{x+9}\sqrt[3]{x-9}=-1[/tex]
[tex]\qquad \sqrt[3]{(x+9)\cdot (x-9)}=-1[/tex]
[tex]\qquad \sqrt[3]{x^2-81}=-1[/tex]
[tex]\qquad \left(\sqrt[3]{x^2-81}\right)^3=(-1)^3[/tex]
[tex]\qquad x^2-81=-1[/tex]
[tex]\qquad x^2=80[/tex]
[tex]\qquad x=\pm 4\sqrt{5}[/tex].
Portanto, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=4\sqrt{5}$} \, [/tex] ou [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=-4\sqrt{5}$} \, .[/tex]
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