Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Vamos chamar de frações unitárias as frações de numerador [tex]1[/tex].
Você sabia que toda fração unitária pode ser desdobrada como soma de duas frações unitárias? Por exemplo:
A fração [tex]\dfrac{1}{2}[/tex] pode ser escrita de uma forma como soma de duas frações unitárias; a saber [tex]\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}[/tex];
A fração [tex]\dfrac{1}{3}[/tex] pode ser escrita de duas formas como soma de duas frações unitárias; a saber [tex]\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}[/tex] ou [tex]\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}[/tex].
a) A fração [tex]\dfrac{1}{4}[/tex] pode ser desdobrada de três maneiras diferentes. Mostre essas maneiras.
b) A fração [tex]\dfrac{1}{8}[/tex] pode ser desdobrada de quatro maneiras diferentes. Mostre essas maneiras.
Solução
Para resolver este problema, utilizaremos a afirmação abaixo. Em um primeiro momento, preocupe-se apenas em entender a afirmação; mas, em um segundo estudo, tente entender também a justificativa dessa afirmação.
Afirmação: Toda expressão da forma [tex]\dfrac{1}{n}[/tex] pode ser, a princípio, decomposta como [tex]\dfrac{1}{n+k}+\dfrac{1}{\dfrac{n(n+k)}{k}}[/tex].
Justificativa: Com efeito, observe que
[tex]\begin{align*}\qquad \dfrac{1}{n+k}+\dfrac{1}{\dfrac{n(n+k)}{k}}&=\dfrac{1}{n+k}+\dfrac{k}{n(n+k)}\\
&=\dfrac{n}{n(n+k)}+\dfrac{k}{n(n+k)}\\
& =\dfrac{n+k}{n(n+k)}\\
&=\dfrac{1}{n}~.\end{align*}[/tex]
Como temos duas frações da forma [tex]\dfrac{1}{n}[/tex], vamos tentar escrevê-las como soma de duas frações unitárias de modos diferentes, usando a decomposição [tex]\boxed{\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n+k}+\dfrac{1}{\dfrac{n(n+k)}{k}}}[/tex], para valores convenientes de [tex]k[/tex], com [tex]k[/tex] variando de [tex]1[/tex] a [tex]n[/tex].
a) No caso [tex]n=4[/tex], podemos tomar [tex]k=1,\, 2,\, 4[/tex], e somente esses valores.
Com efeito, para que [tex] \dfrac{1}{\dfrac{4(4+k)}{k}}[/tex] seja uma fração positiva, [tex]\dfrac{4(4+k)}{k}[/tex] deve ser um número natural; portanto todo divisor primo de [tex]k[/tex] deve ser também divisor de [tex]4[/tex]. Assim, [tex]2[/tex] é o único divisor primo de [tex]k[/tex] em [tex]\mathbb{N}[/tex] e, portanto, [tex]k[/tex] é da forma [tex]k=2^t[/tex], com [tex]\, t=0,\, 1,\, 2 .[/tex]
Com isso:
- para [tex]\, t=2[/tex], temos [tex] k=4~[/tex], logo
[tex]\qquad \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4+4}+\dfrac{1}{\dfrac{4(4+4)}{4}}[/tex],
ou seja,
[tex]\qquad \boxed{\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}}[/tex]; - para [tex]\, t=1[/tex], temos [tex] k=2~[/tex], logo
[tex]\qquad \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4+2}+\dfrac{1}{\dfrac{4(4+2)}{2}}[/tex],
ou seja,
[tex]\qquad \boxed{\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}}[/tex]; - para [tex]\, t=0[/tex], temos [tex] k=1~[/tex], logo
[tex]\qquad \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4+1}+\dfrac{1}{\dfrac{4(4+1)}{1}}[/tex],
ou seja,
[tex]\qquad \boxed{\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{20}}[/tex];
e essas três são as únicas decomposições que permitem escrever [tex]\dfrac{1}{4}[/tex] como soma de exatamente duas frações unitárias.
b) Para [tex]n=8[/tex], podemos tomar [tex]k=1,\, 2, \, 4,\, 8[/tex] e somente esses valores; pois, para que [tex]\dfrac{8(8+k)}{k}[/tex] seja um número natural, todo divisor primo de [tex]\, k\, [/tex] é também divisor de [tex]8[/tex]. Portanto [tex]k[/tex] é da forma [tex]k=2^t[/tex], com [tex]\, t=0,\, 1,\, 2,\, 3[/tex].
Efetuando cálculos análogos aos executados no item anterior, obtemos que
[tex]\qquad \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}\\
\qquad \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{24}\\
\qquad \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{40}\\
\qquad \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{72}[/tex]
são as únicas decomposições que permitem escrever [tex]\dfrac{1}{8}[/tex] como soma de exatamente duas frações unitárias.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participaram da discussão do problema os seguintes Clubes: Math Error; Os Pitagóricos.