Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(UFRGS-2010– Adaptado) Notação científica é como é chamada a técnica de escrever números reais muito pequenos ou muito grandes utilizando-se potências de base dez.
A forma com que escrevemos um número na notação científica é:
[tex]\qquad \qquad a \cdot 10^n[/tex], com [tex]1\leq |a| \lt 10 \, [/tex] e [tex]n[/tex] um número inteiro.
Nessa notação, [tex]a[/tex] é chamado de mantissa, ou coeficiente, e [tex]n[/tex] é chamado de expoente, ou ordem de grandeza do número em questão.
A distância que a luz percorre em um ano, chamada ano-luz, é de aproximadamente [tex]38 \cdot 4^5 \cdot 5^{12}[/tex] quilômetros. Qual a notação científica desse número?
Solução
Para resolver este problema, vamos relembrar algumas propriedades da potenciação:
[tex]\textcolor{#800000}{(i)} \, \, a^{b+c}=a^b\cdot a^c[/tex]
[tex]\textcolor{#800000}{(ii)} \, \, (a^b)^c=a^{b\cdot c}[/tex]
[tex]\textcolor{#800000}{(iii)} \, \, a^b\cdot c^b=(a\cdot c)^{b}[/tex]
Agora, vamos lá:
[tex]\qquad \begin{align*}38 \cdot 4^5 \cdot 5^{12}&=38 \cdot (2^2)^5 \cdot 5^{12}\\
&\stackrel{\textcolor{#800000}{(ii)}}{=} 38 \cdot 2^{10} \cdot 5^{12}\\
& \stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{=}38 \cdot 2^{10} \cdot 5^{10}\cdot 5^2\\
& =950 \cdot 2^{10} \cdot 5^{10}\\
&\stackrel{\textcolor{#800000}{(iii)}}{=} 950 \cdot 10^{10}\\
& =9,5\cdot 10^2\cdot 10^{10}\\
& \stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{=} \fbox{$9,5\cdot10^{12}$}.
\end{align*}[/tex].
Assim, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$38 \cdot 4^5 \cdot 5^{12}=9,5\cdot10^{12}$} \, .[/tex]
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