Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
(UNICAMP-1993) Duas torneiras são abertas juntas: a primeira enchendo um tanque em [tex]5[/tex] horas, a segunda enchendo outro tanque de igual volume em [tex]4[/tex] horas.
No fim de quanto tempo, a partir do momento em que as torneiras são abertas, o volume que falta para encher o segundo tanque é [tex]\dfrac{1}{4}[/tex] do volume que falta para encher o primeiro tanque?
Solução
Consideremos [tex]v[/tex] o volume total de cada tanque.
Como a primeira torneira enche um tanque em [tex]5[/tex] horas ([tex]5\times 60=300[/tex] minutos) e a segunda enche o outro tanque de igual volume em [tex]4[/tex] horas ([tex]4\times 60=240[/tex] minutos), então
- a primeira torneira possui vazão de [tex]\dfrac{v}{300}[/tex] litros por minuto
- a segunda torneira possui vazão de [tex]\dfrac{v}{240}[/tex] litros por minuto.
Sabemos que, decorridos [tex]t[/tex] minutos do momento em que as torneiras foram abertas, o volume que falta para completar o segundo tanque é [tex]\dfrac{1}{4}[/tex] do que falta para completar o primeiro tanque; deste modo, temos que:
[tex]\qquad v-\dfrac{v}{240}\cdot t=\dfrac{1}{4}\cdot \left(v-\dfrac{v}{300}\cdot t \right) \, .[/tex]
Vamos, então, resolver essa equação para obtermos o tempo [tex]t[/tex]:
[tex]\quad v-\dfrac{v}{240}\cdot t=\dfrac{1}{4}\cdot \left(v-\dfrac{v}{300}\cdot t \right)[/tex]
[tex]\quad v\left(1-\dfrac{t}{240}\right)=\dfrac{v}{4}\cdot \left(1-\dfrac{t}{300}\right) [/tex]
[tex]\quad 4\cdot \left(1-\dfrac{t}{240}\right)=1-\dfrac{t}{300} [/tex]
[tex]\quad3=\dfrac{t}{60}-\dfrac{t}{300} [/tex]
[tex]\quad 3=\dfrac{4t}{300}[/tex]
[tex]\quad t=\dfrac{900}{4} \, [/tex] minutos.
Finalmente, perceba que
[tex]\quad t=\dfrac{900}{4}=225=3\times 60+45[/tex],
logo, o tempo [tex]t[/tex] solicitado no problema é de [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$3\ h\ e\ 45\ min$} \, [/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.