.Probleminha: Dividindo a herança

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

A herança deixada pelo pai (matemático) de Antônio, Bruno e Carlos foi distribuída entre os três irmãos.
A distribuição foi feita da seguinte forma:

• [tex]1[/tex] real para Antônio, [tex]2[/tex] reais para Bruno, [tex]3[/tex] reais para Carlos, [tex]4[/tex] reais para Antônio, [tex]5[/tex] reais para Bruno, [tex]6[/tex] reais para Carlos e assim por diante até que todo o dinheiro acabasse.

Sabe-se que o último a receber foi o Carlos e o valor recebido foi de [tex]300[/tex] reais. Encontre o total, em reais, recebido por cada um dos irmãos.

Solução

Perceba que:

• na primeira distribuição, Carlos recebeu [tex]3[/tex] reais;
• na segunda distribuição, Carlos recebeu [tex]6[/tex] reais;
• na terceira distribuição, Carlos recebeu [tex]9[/tex] reais;

[tex]\vdots[/tex]

• na centésima distribuição, Carlos recebeu [tex]300[/tex] reais.

Da mesma forma podemos concluir que:

• na primeira distribuição, Antônio recebeu [tex]1[/tex] real e Bruno [tex]2[/tex] reais;
• na segunda distribuição, Antônio recebeu [tex]4[/tex] reais e Bruno [tex]5[/tex] reais;
• na terceira distribuição, Antônio recebeu [tex]7[/tex] reais e Bruno [tex]8[/tex] reais;

[tex]\vdots[/tex]

• na centésima distribuição, Antônio recebeu [tex]298[/tex] reais e Bruno [tex]299[/tex] reais.

Para melhor visualizar todas essas rodadas de distribuição, observe a tabela abaixo.

Com a tabela é fácil perceber que, entre duas rodadas consecutivas de distribuição, há um aumento de [tex]3[/tex] reais nas quantias recebidas respectivamente pelos irmãos. Então, para determinar o quanto cada um recebeu, podemos utilizar a soma [tex]S_n[/tex] dos termos de uma progressão aritmética [tex] a_1, \, a_2, \, a_3, \, \cdots, \, a_n [/tex]:

[tex]\qquad \qquad S_n=[/tex][tex]\dfrac{(a_{1}+a_{n}) \times n}{2} \, .[/tex]
Vamos lá!

• Quantia recebida por Antônio:
  [tex]\qquad \qquad \dfrac{(1+298)\times 100}{2}=14.950[/tex] reais.
• Quantia recebida por Bruno:
  [tex]\qquad \qquad \dfrac{(2+299)\times 100}{2}=15.050[/tex] reais.
• Quantia recebida por Carlos:
  [tex]\qquad \qquad \dfrac{(3+300)\times 100}{2}=15.150[/tex] reais.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.