.Problemão: Táxis

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)

• A empresa A cobra um valor fixo de [tex]R\$ \, 8,00 \, [/tex], com um acréscimo de [tex]R\$ \, 1,00[/tex] por cada quilômetro percorrido.
• A empresa B cobra o valor fixo de [tex]R\$ \, 4,00 \, [/tex], com um acréscimo de [tex]R\$ \, 1,20[/tex] por cada quilômetro percorrido.

(a) Qual empresa será conveniente contratar para uma corrida de [tex]10[/tex] quilômetros?
(b) Existe alguma distância para a qual o preço da corrida seja o mesmo nas duas empresas?
(c) Em quais situações devemos usar a empresa A? E a B?

Solução

• a empresa A cobrará
  [tex]\qquad 8+10\times 1=18[/tex] reais,
• a empresa B cobrará
  [tex]\qquad 4+10\times 1,2=16[/tex] reais.

Portanto, é conveniente contratar a empresa B quando a corrida for de [tex]10[/tex] [tex]km[/tex].

(b) Podemos denotar por [tex]A(x)[/tex] e [tex]B(x)[/tex] os valores em reais cobrados por uma corrida de [tex]x \, km[/tex] pela empresa A e pela empresa B, respectivamente. Procuramos, então, por uma solução positiva para a equação [tex]A(x)=B(x)[/tex].
Observe que [tex]\boxed{A(x)=8+x} \, [/tex] e [tex] \, \boxed{B(x)=4+1,2x} \, .[/tex]
Assim,
[tex]\qquad \qquad A(x)=B(x) \Leftrightarrow 8+x =4+1,2x \Leftrightarrow 0,2x=4 \Leftrightarrow x=20 \, .[/tex]
Desta maneira, encontramos que as duas empresas cobram o mesmo valor para uma corrida de [tex]20 \, km \, .[/tex]

(c) Observe que
[tex]\qquad \qquad A(x)\gt B(x) \Leftrightarrow 8+x \gt 4+1,2x \Leftrightarrow x\lt 20[/tex]
e
[tex]\qquad \qquad A(x)\lt B(x) \Leftrightarrow 8+x \lt 4+1,2x \Leftrightarrow x\gt 20[/tex].
Podemos concluir, então, que para corridas com percurso acima de [tex]20 \, km[/tex] é conveniente contratar a empresa A e abaixo de [tex]20 \, km[/tex] devemos contratar a empresa B.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.