.Probleminha: Frações unitárias

Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)


De quantas maneiras podemos escrever a fração [tex]\dfrac{1}{2}[/tex] como soma de duas frações próprias com numeradores iguais a [tex]1[/tex] e com denominadores no conjunto dos números naturais?

Solução


Note que precisamos determinar todos os naturais [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] tais que
[tex]\qquad \qquad \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}[/tex].
Perceba também que, se [tex]m \gt 4[/tex] e [tex]n \gt 4[/tex], então
[tex]\qquad \qquad\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}\lt \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}.[/tex]
Com isso podemos concluir que [tex]m[/tex] ou [tex]n[/tex] deve ser menor ou igual a [tex]4[/tex].
Suponhamos que [tex]m \le 4[/tex] (o outro caso é análogo e leva às mesmas soluções).

  • Se [tex]m=1[/tex], então [tex]\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{2}[/tex] e, portanto, [tex]n=-2.[/tex]
    Como [tex]n[/tex] é natural, [tex]m=1[/tex] não serve.
  • Se [tex]m=2[/tex], então [tex]\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{2} [/tex] e, agora, obtemos [tex] \dfrac{1}{n}=0.[/tex]
    Como a equação obtida não tem solução, a opção [tex]m=2[/tex] também não serve.
  • Se [tex]m=3[/tex], então [tex]\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{2} [/tex] donde [tex] n=6.[/tex]
  • Se [tex]m=4[/tex], então [tex]\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{2} [/tex] donde [tex] n=4.[/tex]

Dessa forma, a menos da ordem, temos duas opções para escrever [tex]\dfrac{1}{2}[/tex] como soma de duas frações com numeradores iguais a [tex]1[/tex] e com denominadores no conjunto dos números naturais:
[tex]\qquad \qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}$}\qquad [/tex] e [tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}$} \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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