Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Determine as soluções reais do seguinte sistema de equações:
[tex]\qquad \qquad \left\{ \begin{array}{lll} x+y &=& 3 \\ x^3+y^3 & =& 18 \end{array} \right.[/tex] .
Solução
Usando o produto notável “cubo perfeito” vemos que
[tex]\qquad \qquad (x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=x^3+y^3+3xy(x+y),[/tex]
ou seja,
[tex]\qquad \qquad (x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y).\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Utilizando as equações do sistema na identidade [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex], obtemos que [tex] 3^3=18+9xy \, [/tex], donde [tex]xy=1.[/tex]
De [tex]x+y=3[/tex] segue que [tex]\boxed{y=3-x}[/tex]; assim, substituindo essa relação em [tex]\boxed{xy=1}[/tex] obtemos que
[tex]\qquad 3x-x^2=1 [/tex]
[tex]\qquad x^2-3x+1=0.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Note que as soluções da equação do segundo grau [tex] \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] são
[tex]\qquad \qquad x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\qquad [/tex] e [tex]\qquad x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}[/tex]
e, que a partir dessas soluções, obtemos respectivamente os valores
[tex]\qquad \qquad y_1=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\qquad [/tex] e [tex]\qquad y_2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}[/tex],
para [tex]y[/tex].
Portanto, as soluções para o sistema de equações são:
[tex]\qquad \qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\quad \text{ e }\quad y=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$} \, \, [/tex] ou [tex]\quad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\quad \text{ e }\quad y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$} \, \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.