Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Um pirata encontrou um tesouro com [tex]23[/tex] moedas de ouro aparentemente idênticas. Sabe-se que [tex]22[/tex] destas moedas possuem o mesmo peso e apenas uma delas é mais leve que as outras.
Mostre que o pirata sempre pode descobrir a moeda falsa em apenas, no máximo, três pesagens com uma balança de equilíbrio de dois pratos.
Solução
[tex]\textcolor{#800000}{(1)}[/tex] Vamos, inicialmente, dividir o conjunto [tex]M[/tex] das moedas em três subconjuntos [tex]M_1, M_2[/tex] e [tex]M_3[/tex] contendo [tex]9[/tex] moedas, [tex]9[/tex] moedas e [tex]5[/tex] moedas, respectivamente.
[tex]\textcolor{#800000}{(2)}[/tex] Com uma pesagem, colocando em um dos pratos da balança as moedas de [tex]M_1[/tex] e no outro as de [tex]M_2[/tex], podemos descobrir se a moeda falsa se encontra em [tex]M_1[/tex], [tex]M_2[/tex] ou em [tex]M_3[/tex]:
- – Se o prato no qual estão as moedas [tex]M_1[/tex] abaixar, a moeda falsa está em [tex]M_2.[/tex]
– Se o prato no qual estão as moedas [tex]M_2[/tex] abaixar, a moeda falsa está em [tex]M_1.[/tex]
– Se os pratos ficarem em equilíbrio, a moeda falsa está em [tex]M_3.[/tex]
[tex]\textcolor{#800000}{(3.1)}[/tex] Se a moeda falsa estiver em [tex]M_1[/tex] então podemos separar este conjunto de [tex]9[/tex] moedas em três subconjuntos [tex]M_{11}, M_{12}[/tex] e [tex]M_{13}[/tex] contendo três moedas cada um.
- Com uma segunda pesagem, colocando num dos pratos da balança as moedas de [tex]M_{11}[/tex] e no outro as de [tex]M_{12}[/tex], descobrimos em qual dos conjuntos [tex]M_{11}, M_{12}[/tex] e [tex]M_{13}[/tex], com [tex]3[/tex] moedas cada um, se encontra a falsa.
- Digamos que a moeda falsa se encontra em [tex]M_{1x}[/tex] ([tex]x=1, \, 2 \text{ ou } 3[/tex]). Finalmente, com mais uma pesagem, colocando em cada prato da balança uma das moedas de [tex]M_{1x}[/tex], determinamos a moeda falsa.
- – Se o prato no qual estão as moedas [tex]M_{11}[/tex] abaixar, então a moeda falsa está em [tex]M_{12}.[/tex]
– Se o prato no qual estão as moedas [tex]M_{12}[/tex] abaixar, a moeda falsa está em [tex]M_{11}.[/tex]
– Se os pratos ficarem em equilíbrio, a moeda falsa está em [tex]M_{13}.[/tex]
- – Se um dos pratos abaixar, a moeda falsa é a que está no prato que não abaixou.
– Se os pratos ficarem em equilíbrio, a moeda falsa é a aquela que não foi colocada nos pratos da balança.
[tex]\textcolor{#800000}{(3.2)}[/tex] Se a moeda falsa estiver em [tex]M_2[/tex], podemos proceder exatamente como no caso anterior.
[tex]\textcolor{#800000}{(3.3)}[/tex] Se a moeda falsa estiver em [tex]M_3[/tex], podemos usar [tex]4[/tex] moedas dos outros conjuntos e proceder exatamente como no [tex]\textcolor{#800000}{\text{caso } 3.1}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.