Sabemos que toda matéria é formada por pequenas partículas: os átomos. Os gregos antigos foram os primeiros a saber que a matéria é formada por tais partículas e o filósofo grego Demócrito (que viveu entre 546 e 460 a.C.) foi quem denominou essas partículas de átomos (do grego – a: não; tomo: divisão), pois acreditava que, de fato, elas eram indivisíveis. Hoje se sabe que os átomos podem ser divididos em partículas menores, mas a ideia de que a matéria existe em “unidades mínimas” segue vigente… Na aritmética, essa ideia de “unidades mínimas” também existe e também veio lá da Grécia antiga. Só que o papel dos átomos, neste caso, é exercido pelos chamados números primos. Os pitagóricos (de 500 a 300 a.C., mais ou menos) foram os primeiros a se interessarem pelas propriedades “místicas” desses números. Mas, diferentemente dos átomos de verdade, os números primos funcionam e vão continuar funcionando como blocos numéricos fundamentais, responsáveis por gerar todos os números naturais diferentes de 0 e de 1. Esta propriedade é conhecida como Teorema Fundamental da Aritmética – o TFA que nomeia esta Sala – e ela garante que um número natural diferente de 0 e de 1 ou é um número primo ou pode ser escrito como produto de números primos, conforme ilustra os exemplos a seguir.
O Teorema Fundamental da Aritmética já aparece publicado nos Elementos de Euclides, mas a primeira demonstração completa e correta do Teorema foi feita por Gauss e publicada em 1801, na obra Disquisitiones Arithmeticae.
Teorema Fundamental da Aritmética – Uma primeira forma
Todo número natural maior do que 1 ou é primo ou pode ser escrito como produto de fatores primos.
Seja [tex]n[/tex] um número natural, [tex]n\gt 1[/tex], e observe que se [tex]n[/tex] for um número primo, não há nada para ser demonstrado.
Tomemos, então, [tex]n[/tex] um número composto. Como [tex]n[/tex] tem divisores diferentes de 1 , seja [tex]p_1[/tex] o menor dentre esses divisores de [tex]n[/tex] diferentes de 1 . Assim existe um número natural [tex]n_1[/tex] tal que
Afirmação 1: [tex]p_1[/tex] é primo.
De fato, pois se [tex]p_1[/tex] não fosse primo, então existiria um número natural [tex]d[/tex], [tex]1\lt d \lt p_1[/tex], tal que [tex]d \mid p_1[/tex]. Como [tex]p_1 \mid n[/tex], pela transitividade da divisibilidade, teríamos que [tex]d \mid n[/tex], com [tex]d \lt p_1[/tex], o que contraria a escolha de [tex]p_1[/tex].
Assim, por [tex](i)[/tex], [tex]n=p_1\cdot n_1[/tex], com [tex]p_1[/tex] primo.
Se [tex]n_1[/tex] for primo, terminamos a demonstração, pois [tex]n[/tex] será um produto de dois primos: [tex]p_1[/tex] e [tex]n_1[/tex]. Suponha, então, que [tex]n_1[/tex] não seja primo e tome [tex]p_2[/tex] o menor dentre os divisores de [tex]n_1[/tex] que são maiores do que 1 . Assim, existe um número natural [tex]n_2[/tex] tal que [tex]n_1=p_2 \cdot n_2[/tex] e, portanto, por [tex](i)[/tex],
Afirmação 2: [tex]p_2[/tex] é primo.
De fato, procederemos como na Afirmação 1. Se [tex]p_2[/tex] não fosse primo, existiria um número natural [tex]k[/tex], [tex]1\lt k \lt p_2[/tex], tal que [tex]k \mid p_2[/tex]. Como [tex]p_2 \mid n_1[/tex] teríamos, então, que [tex]k \mid n_1[/tex], com [tex]k \lt p_2[/tex], o que contraria a escolha de [tex]p_2[/tex].
Assim, por [tex](ii)[/tex], [tex]n=p_1\cdot p_2 \cdot n_2[/tex], com [tex]p_1[/tex] e [tex]p_2[/tex] primos.
Se [tex]n_2[/tex] for primo, terminamos a demonstração, pois teríamos escrito [tex]n[/tex] como um produto de três primos: [tex]p_1[/tex], [tex]p_2[/tex] e [tex]n_2[/tex]. Se [tex]n_2[/tex] for composto podemos tomar [tex]p_3\gt 1[/tex] o menor dentre os divisores de [tex]n_2[/tex] e assim existirá um número natural [tex]n_3[/tex] tal que [tex]n_2=p_3 \cdot n_3[/tex] e, com isso,
[tex]\qquad n=p_1\cdot p_2 \cdot p_3 \cdot n_3.\qquad \qquad (iii)[/tex]
Afirmação 3: [tex]p_3[/tex] é primo.
De fato, procederemos como nas Afirmações 1 e 2. Se [tex]p_3[/tex] não fosse primo existiria um número natural [tex]t[/tex], [tex]1\lt t \lt p_3[/tex], tal que [tex]t \mid p_3[/tex]. Mas [tex]p_3 \mid n_2[/tex] e assim [tex]t \mid n_2[/tex], com [tex]t \lt p_3[/tex], o que contraria a escolha de [tex]p_3[/tex].
Assim, por [tex](iii)[/tex], [tex]n=p_1\cdot p_2 \cdot p_3 \cdot n_3[/tex], com [tex]p_1[/tex], [tex]p_2[/tex] e [tex]p_3[/tex] primos.
Se [tex]n_3[/tex] for primo, terminamos a demonstração, pois teríamos escrito [tex]n[/tex] como um produto de três primos: [tex]p_1[/tex], [tex]p_2[/tex], [tex]p_3[/tex] e [tex]n_3[/tex].
Até quando podemos prosseguir com esse raciocínio?
Podemos repeti-lo indefinidamente?
Pelo acima exposto, observamos que, para cada divisor não primo [tex]n_i[/tex] de [tex]n[/tex], podemos obter dois divisores de [tex]n[/tex], menores do que [tex]n_i[/tex] – digamos [tex]n_j[/tex] e [tex]p_j[/tex] – tais que:
[tex]\qquad ● \, \, p_j[/tex] é primo;
[tex]\qquad ● \, \, n=p_1\cdot p_2 \cdot p_3\cdot \, \, \cdots \, \, \cdot p_i\cdot p_j\cdot n_j[/tex];
[tex]\qquad ● \, \, n\gt n_1\gt n_2\gt n_3\gt \cdots \gt n_i\gt n_j\gt 1[/tex].
As desigualdades [tex]n\gt n_1\gt n_2\gt n_3\gt \cdots \gt n_i\gt n_j\gt 1[/tex] mostram que, em algum momento, se esgotam as possibilidades para os termos dessa sequência, já que existe uma quantidade finita de números naturais entre 1 e [tex]n[/tex]. Suponhamos que [tex]n_s[/tex] seja, o último elemento da sequência; então [tex]n_s[/tex] é primo e, finalmente,
[tex]\qquad n=p_1\cdot p_2 \cdot p_3\cdot \, \, \cdots \, \, \cdot p_s\cdot n_s[/tex], com [tex]p_1, \ p_2, \ p_3 \ \cdots \ p_s, \ n_s[/tex] primos.
Aqui vamos, simplesmente, dar uma outra justificativa para o Teorema, mais curta que a anterior.
Seja [tex]n[/tex] um número natural, [tex]n\gt 1[/tex], e seja [tex]q_1[/tex] o menor dentre os divisores de [tex]n[/tex] diferentes de 1 .
Afirmação 1: [tex]q_1[/tex] é primo.
De fato, pois se [tex]q_1[/tex] não fosse primo existiria um número natural [tex]d[/tex], [tex]1\lt d \lt q_1[/tex], tal que [tex]d \mid q_1[/tex]. Como [tex]q_1 \mid n[/tex] teríamos, então, pela transitividade da divisibilidade, que [tex]d \mid n[/tex], com [tex]d \lt q_1[/tex]; o que contraria a escolha de [tex]q_1[/tex].
Como [tex]q_1 \mid n[/tex], existe [tex]m_1\in\mathbb{N}[/tex] tal que [tex]n=q_1 \cdot m_1[/tex].
● Se [tex]m_1=1[/tex], terminamos e [tex]n[/tex] é primo.
● Se [tex]m_1\gt 1[/tex], de maneira análoga, conseguimos escrever [tex]m_1=q_2 \cdot m_2[/tex], com [tex]q_2[/tex] primo e assim teríamos
[tex]\qquad n=q_1 \cdot q_2 \cdot m_2[/tex], com [tex]q_1, \, q_2[/tex] primos e [tex]1 \le m_2 \lt m_1[/tex].
● Se [tex]m_2=1[/tex], terminamos e [tex]n=q_1 \cdot q_2[/tex].
● Se [tex]m_2\gt 1[/tex], repetindo o processo, obtemos para [tex]m_2[/tex] uma decomposição análoga à de [tex]m_1[/tex].
Prosseguindo com o procedimento, obteremos, então, números primos [tex] \, q_1, \ q_2, \ q_3 \ \cdots \ q_j \, [/tex] e uma sequência de números naturais [tex] \, m_1\gt m_2\gt m_3\gt \cdots \gt m_j\ge 1 \, [/tex] tais que [tex] \, n=q_1\cdot q_2 \cdot q_3\cdot \, \, \cdots \, \, \cdot q_j\cdot m_j [/tex], com a possibilidade de continuarmos com a decomposição de [tex]n[/tex], sempre que [tex]m_j\gt 1[/tex].
Como existe uma quantidade finita de números naturais entre 1 e [tex]n[/tex], o procedimento de decomposição tem um último passo no qual obtemos [tex]m_r= 1[/tex] e, então, teremos
[tex]\qquad n=q_1\cdot q_2 \cdot q_3\cdot \, \, \cdots \, \, \cdot q_r[/tex], com [tex]q_1, \ q_2, \ q_3 \ \cdots \ q_r[/tex] primos.
As justificativas apresentadas para o T F A não são simples de serem entendidas para quem não está habituado com a linguagem matemática. Se for o seu caso, não desanime, tente entender o enunciado direitinho, prossiga com a leitura dos tópicos desta página e, em um segundo momento, volte a estudá-las.
Não entender as justificativas não vai prejudicar o seu entendimento sobre a divisibilidade e suas propriedades. Mas, se você investir no entendimento das duas demonstrações, isso vai ajudar, e muito, o seu amadurecimento matemático.
Uma dúvida pode ocorrer, ao observarmos os exemplos de decomposições que fizemos para os números 840 e 1386: começamos fazendo divisões por 2; se tivéssemos iniciado o processo fazendo divisões por 3, por exemplo, teríamos decomposições diferentes das apresentadas? A forma completa do TFA vai esclarecer essa dúvida; vejamos.
Teorema Fundamental da Aritmética
Todo número natural maior do que 1 ou é primo ou pode ser escrito de forma única, a menos da ordem dos fatores, como produto de números primos.
Enunciado dessa forma, o TFA é um resultado que, além de garantir a existência da representação de um número natural maior do que 1 como um produto de seus divisores primos, garante que essa representação é única. Entre outros benefícios, esse resultado garante que podemos iniciar o processo de procura dos divisores primos pelo primo que nos for conveniente. Não apresentaremos uma justificativa para a unicidade da representação de um número natural maior do que 1 como produto de primos, pois ela foge dos objetivos pelos quais o Teorema foi apresentado. Além disso, as ferramentas necessárias para a demonstração ainda não foram desenvolvidas em nossas Salas. A seguir, apresentaremos uma maneira mais simbólica de escrever o TFA.
Se [tex]n[/tex] é um número natural, [tex]n\gt 1[/tex], então existem números primos [tex]p_1, \, p_2, \, p_3, \, \cdots \, , \, p_r[/tex], com [tex]r\ge 1[/tex], tais que
[tex]\qquad \qquad n=p_1 \, p_2 \, p_3 \, \cdots \, p_r[/tex].
A menos da ordem dos fatores primos, essa representação é única.
Observem que a possibilidade de [tex]n[/tex] ser primo não aparece explícita nesse enunciado, mas ela fica contemplada quando admitimos [tex]r\ge 1[/tex]. A seguir, uma outra versão clássica do TFA.
Seja [tex]n[/tex] um número natural, [tex]n\gt 1[/tex].
Então existem números primos [tex]p_1\le p_2\le p_3\le \, \cdots \, \le p_r[/tex], com [tex]r\ge 1[/tex], tais que
[tex]\qquad \qquad n=p_1 \, p_2 \, p_3 \, \cdots \, p_r[/tex]
Além disso, essa decomposição é única.
A princípio, alguém pode achar que essa forma de enunciar o TFA está incompleta, pois não foi explicitado que a unicidade é a menos da ordem. Mas observem que a ordem foi fixada quando exigimos que [tex]p_1\le p_2\le p_3\le \, \cdots \, \le p_r[/tex], com [tex]r\ge 1[/tex]. Finalizamos este tópico apresentando mais uma versão completa do TFA.
Seja [tex]n[/tex] um número natural, [tex]n\gt 1[/tex].
Então existem números primos [tex]p_1\lt p_2\lt p_3\lt \, \cdots \, \lt p_r[/tex] e, também, números naturais não nulos [tex]n_1, \, n_2, \, n_3, \, \cdots \, , \, n_r[/tex], com [tex]r\ge 1[/tex], tais que
Podemos observar que, nas três versões anteriores do TFA, estávamos admitindo que os primos que aparecem na decomposição não são necessariamente distintos, o que atende, inclusive, aos nossos dois exemplos iniciais. Particularmente, nessa última versão, agrupamos os eventuais primos que aparecem repetidos no produto e, com isso, os primos da decomposição são distintos dois a dois. Escrito nessa forma, podemos dizer que [tex]n[/tex] está decomposto como produto de potências cujas bases são números primos distintos dois a dois. Esta forma de representar um número natural [tex]n\gt 1[/tex] decomposto como produto de potências cujas bases são números primos distintos dois a dois, [tex] \, n=p_1^{n_1} \, p_2^{n_2} \, p_3^{n_3} \, \cdots \, p_r^{n_r}[/tex], é denominada “decomposição canônica de [tex]n[/tex]”.
O TFA estabelece a existência e a unicidade da decomposição de qualquer número natural maior do que 1 como produto de primos. O que vamos ver agora é como fazer essa decomposição. Mas, observem que, mesmo antes de fazê-la, já sabemos que essa decomposição é única, a menos da ordem em que aparecem os primos.
Como a matemática é surpreendente, não é?
Em busca da decomposição
Fatorar ou decompor um número natural [tex]n[/tex], com [tex]n\gt 1[/tex], significa escrevê-lo de acordo com qualquer uma das versões do TFA:
[tex]\qquad n=p_1 \, p_2 \, p_3 \, \cdots \, p_r[/tex], com [tex]r\ge 1 \, \, [/tex] e [tex] \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, \cdots, \, p_r[/tex] primos.
ou
[tex]\qquad n=p_1^{n_1} \, p_2^{n_2} \, p_3^{n_3} \, \cdots \, p_r^{n_r}[/tex], com [tex]r\ge 1[/tex], [tex]p_1\lt p_2\lt p_3\lt \, \cdots \, \lt p_r[/tex] primos e [tex]n_1, \, n_2, \, n_3, \, \cdots \, , \, n_r[/tex] números naturais não nulos.
O que faremos neste tópico é descrever um processo para se obter essa fatoração/decomposição. Mas antes, vamos enunciar e provar uma propriedade que ajudará a controlar esse processo.
Se [tex]n[/tex] é um número natural composto, então [tex]n[/tex] tem um divisor primo [tex]p[/tex] tal que [tex]p\le \sqrt{n}[/tex].
Seja [tex]n[/tex] um número natural composto, assim existem números naturais [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], com [tex]1 \lt a, \, b \lt n[/tex], tais que [tex]n=ab[/tex].
Suponhamos, sem perda de generalidade, [tex]a\le b[/tex]; assim [tex]aa\le ba[/tex], donde [tex]a^2\le n[/tex] e, portanto, [tex]a\le \sqrt{n}[/tex].
Mas [tex]a \gt 1 [/tex], logo, pelo TFA, existem primos [tex]p_1, \, p_2, \, \cdots \, , \, p_r[/tex] tais que [tex]a=p_1 \, p_2 \, \cdots \, p_r[/tex]. Particularmente cada um desses primos divide [tex]a[/tex] e, consequentemente, também divide [tex]n[/tex].
Seja [tex]p[/tex] qualquer um desses primos; assim, além de [tex]p[/tex] dividir [tex]n[/tex], [tex]p\le a \le \sqrt{n}[/tex].
Portanto, existe um primo [tex]p[/tex] tal que [tex]p\mid n[/tex] e [tex]p\le \sqrt{n}[/tex].
Esta propriedade garante que
se [tex]n[/tex] é um número natural composto, então [tex]n[/tex] tem um divisor primo [tex]p[/tex] tal que [tex]p\le \sqrt{n}[/tex].
Vamos fixar um número natural [tex]m\gt 1[/tex] que não tenha um divisor primo [tex]q[/tex] tal que [tex]q\le \sqrt{m}[/tex]. Pergunta: Esse número [tex]m[/tex] pode ser composto?
Pela propriedade em questão, se [tex]m[/tex] fosse composto, então existiria um divisor primo [tex]p_1[/tex] de [tex]m[/tex] tal que [tex]p_1\le \sqrt{m}[/tex].
Mas [tex]m[/tex] foi tomado como um número que não tem essa característica, ou seja, [tex]m[/tex] não tem essa propriedade necessária para ser composto; portanto [tex]m[/tex] não pode ser composto.
Mais do que isso: como [tex]m\gt 1[/tex] e [tex]m[/tex] não pode ser composto, então [tex]m[/tex] é primo.
A nossa argumentação mostra, neste caso, que:
Se um número natural [tex]n\gt 1[/tex] não tem um divisor primo [tex]p[/tex] tal que [tex]p\le \sqrt{m}[/tex], então [tex]m[/tex] é primo.
O processo de fatoração que descreveremos, a seguir, será feito com base nas demonstrações que apresentamos para garantir a existência da decomposição em fatores primos de um dado número natural maior do que 1 e levando-se em consideração a propriedade acima e o que dela concluímos.
Formalmente, a fatoração de um número natural [tex]n[/tex], [tex]n\gt 1[/tex] pode ser feita a partir dos seguintes passos: Passo 1: Listar todos os primos menores ou iguais a [tex]\sqrt{n}[/tex], escrevendo-os em ordem crescente. Passo 2: Dividir [tex]n[/tex] sucessivamente por esses primos, até encontrar um primeiro divisor primo [tex]p_1[/tex] de [tex]n[/tex].
Se esse divisor [tex]p_1[/tex] não for encontrado, então [tex]n[/tex] é primo e a fatoração está terminada.
Encontrado o divisor primo [tex]p_1[/tex] de [tex]n[/tex], ir para o próximo Passo.
Passo 3: Como [tex]p_1\mid n[/tex], existe [tex]a_1\in \mathbb{N}[/tex] tal que [tex]n=p_1\cdot a_1[/tex]. Passo 4: Listar todos os primos menores ou iguais a [tex]\sqrt{a_1}[/tex], escrevendo-os em ordem crescente. Passo 5: Dividir [tex]a_1[/tex] sucessivamente pelos primos listados no Passo 4, até encontrar um primeiro divisor [tex]p_2[/tex] de [tex]a_1[/tex].
Se esse divisor [tex]p_2[/tex] não for encontrado, então [tex]a_1[/tex] é primo e a fatoração está terminada: [tex]n=p_1\cdot a_1[/tex].
Encontrado o divisor primo [tex]p_2[/tex] de [tex]a_1[/tex], ir para o próximo Passo.
Passo 6: Como [tex]p_2\mid a_1[/tex], existe [tex]a_2\in \mathbb{N}[/tex] tal que [tex]a_1=p_2\cdot a_2[/tex]. Assim [tex]n=p_1\cdot p_2\cdot a_2[/tex]. Passo 7: Listar todos os primos menores ou iguais a [tex]\sqrt{a_2}[/tex], escrevendo-os em ordem crescente. Passo 8: Dividir [tex]a_2[/tex] sucessivamente pelos primos listados no Passo 7, até encontrar um primeiro divisor [tex]p_3[/tex] de [tex]a_2[/tex].
Se esse divisor [tex]p_3[/tex] não for encontrado, então [tex]a_2[/tex] é primo e a fatoração está terminada: [tex]n=p_1\cdot p_2\cdot a_2[/tex].
Encontrado o divisor primo [tex]p_3[/tex] de [tex]a_2[/tex], ir para o próximo Passo.
Passo 9: Como [tex]p_3\mid a_2[/tex], existe [tex]a_3\in \mathbb{N}[/tex] tal que [tex]a_2=p_3\cdot a_3[/tex]. Assim [tex]n=p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot a_3[/tex]. Passo 10: Listar todos os primos menores ou iguais a [tex]\sqrt{a_3}[/tex], escrevendo-os em ordem crescente. Passo 11: Dividir [tex]a_3[/tex] sucessivamente pelos primos listados no Passo 10, até encontrar um primeiro divisor [tex]p_4[/tex] de [tex]a_3[/tex].
Se esse divisor [tex]p_4[/tex] não for encontrado, então [tex]a_3[/tex] é primo e a fatoração está terminada: [tex]n=p_1\cdot p_2\cdot a_2\cdot a_3[/tex].
Encontrado o divisor primo [tex]p_4[/tex] de [tex]a_3[/tex], ir para o próximo Passo.
Observem que sempre que é encontrado um fator primo [tex]p_j[/tex] de um divisor [tex]a_i[/tex] de [tex]n[/tex], um novo processo de divisões por primos é criado e novos passos são executados. Mas percebam que o processo gera uma sequência decrescente [tex]a_1\gt a_2\gt a_3\gt \cdots \, [/tex] de divisores de [tex]n[/tex]. Como essa sequência tem um número finito de termos, esse processo termina em algum momento.
Precisamente, termina quando um dos termos dessa sequência for um número primo.
As divisões sucessivas por primos efetuadas no processo de fatoração/decomposição podem ser indicadas de várias maneiras. Vejamos um exemplo numérico no qual obtemos a decomposição [tex]60=2\times 2\times 3\times 5[/tex] de três modos diferentes. Observem que o terceiro processo parece ser o mais prático, não é? Vamos, então, generalizá-lo.
A decomposição de um número natural [tex]n[/tex], [tex]n\gt 1[/tex], em fatores primos pode ser feita assim:
divide-se o número [tex]n[/tex] pelo seu menor divisor primo (digamos, [tex]p_1[/tex]);
divide-se o quociente obtido (digamos, [tex]a_1[/tex]) pelo seu menor divisor primo (digamos, [tex]p_2[/tex]);
divide-se o quociente obtido (digamos, [tex]a_2[/tex]) pelo seu menor divisor primo (digamos, [tex]p_3[/tex]);
procede-se da mesma forma com cada quociente obtido, até se encontrar um quociente primo, que ao ser dividido pelo seu menor divisor primo (ele mesmo), resulte em 1.
Esses números obtidos são colocados, sucessivamente, em duas colunas:
na coluna da esquerda, são colocados os quocientes obtidos, conforme eles aparecem, abaixo do número a ser fatorado;
na coluna da direita, são colocados os divisores primos, do menor para o maior e ao lado do respectivo número que cada um divide.
Utilizando a notação acima:
[tex]n[/tex] dividido por [tex]p_1[/tex] resulta no quociente [tex]a_1[/tex];
[tex]a_1[/tex] dividido por [tex]p_2[/tex] resulta no quociente [tex]a_2[/tex];
[tex]a_2[/tex] dividido por [tex]p_3[/tex] resulta no quociente [tex]a_3[/tex].
Prosseguimos assim, até aparecer o quociente 1 .
Pelo exposto, para se obter a decomposição de um número natural [tex]n[/tex] maior do 1 como produto de primos é preciso conhecer os números primos menores ou iguais a [tex]\sqrt{n}[/tex] e fazer corretamente as divisões necessárias. Para ajudar, vamos disponibilizar, logo abaixo, a relação de todos os primos menores do que 10.000; assim, será possível decompor números menores ou iguais a 100.000.000. É um bom começo, não é? Para, apenas, consultar a relação, clique no primeiro botão. Para baixar o arquivo, clique no segundo botão.
Observem que sempre que é encontrado um fator primo [tex]p_j[/tex] de um divisor [tex]a_i[/tex] de [tex]n[/tex], um novo processo de divisões por primos é criado e novos passos são executados. Mas percebam que o processo gera uma sequência decrescente [tex]a_1\gt a_2\gt a_3\gt \cdots \, [/tex] de divisores de [tex]n[/tex]. Como essa sequência tem um número finito de termos, esse processo termina em algum momento.
