.Sala de Estudo: Médias e Desigualdades

Médias e Desigualdades

É muito comum nos depararmos com problemas de máximos e mínimos de expressões algébricas e, por algumas vezes, termos que interpretar geometricamente as desigualdades entre as médias, bem como as condições para a sua igualdade. Isso porque as desigualdades algébricas e suas propriedades são ferramentas poderosas para a resolução de problemas de olimpíadas envolvendo desigualdades geométricas e cálculo de máximos e mínimos. A mera observação de propriedades simples das desigualdades serve para esclarecer alguns aspectos que certos problemas levantam, como por exemplo:

► Dado um retângulo de perímetro fixo, quais as medidas de suas dimensões para que sua área seja máxima?

Nesta Sala de Estudos, apresentaremos cinco Médias e algumas Desigualdades importantes que as relacionam. Apresentaremos também algumas aplicações do conteúdo desenvolvido, na forma de exemplos e problemas propostos.

Vamos lá?

Bons Estudos, pessoal!

I – As Médias

De maneira bem informal, uma média de uma lista de números reais é um valor que pode substituir todos os números dessa lista sem alterar determinada característica dela:

se essa característica for a soma dos elementos da lista, utiliza-se a média aritmética;
se essa característica for o produto dos elementos da lista, utiliza-se a média geométrica;
se essa característica for a soma dos inversos dos elementos da lista, utiliza-se a média harmônica;
se essa característica for a soma dos quadrados dos números da lista, utiliza-se a média dos quadrados.

Então, são estas as Médias que utilizaremos:

Média Aritmética – Denominamos Média Aritmética dos números reais positivos $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ ao número denotado por $MA$ e assim definido:

$\boxed{MA=\dfrac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_n}{n}}.$

A Média Aritmética preserva a soma dos números da lista, conforme podemos observar a seguir.
De $\, MA=\dfrac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_n}{n}$ , segue que
$\qquad\begin{align*} \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$a_1+a_2+a_3+\dots+a_n $}&= n \cdot MA\\ &= \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\underbrace {MA+MA+MA+\cdots+MA}_{\text{n vezes}}$}\, .\end{align*}$
A Média Aritmética dos valores $x_1, x_2, x_3, \dots, x_m$ é habitualmente denotada por $\overline{X}.$ Assim, a Média Aritmética dos números reais positivos $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ fixados poderia ser, também, denotada por $\overline{A}.$

Média Geométrica – Denominamos Média Geométrica dos números reais positivos $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ ao número denotado por $MG$ e assim definido:

$\boxed{MG=\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \, \dots \, \cdot a_n}}.$

A Média Geométrica preserva o produto dos números da lista, conforme podemos observar a seguir.
De $\, MG=\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \, \dots \, \cdot a_n}$ , temos que
$\qquad\begin{align*} \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$a_1 \cdot a_2 \cdot a_3\cdot \, \dots \, \cdot a_n$}&= \left(MG\right)^n\\ &= \, \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\underbrace {MG \cdot MG \cdot MG \cdot \, \cdots \, \cdot MG}_{\text{n vezes}}$}\, . \end{align*}$

Média Harmônica – Denominamos Média Harmônica dos números reais positivos $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ ao número denotado por $MH$ e assim definido:

$\boxed{MH=\dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots+\dfrac{1}{a_n}}} \,$ ,

ou seja, é o inverso da Média Aritmética dos inversos dos valores.
A Média Harmônica preserva a soma dos inversos dos números da lista, conforme podemos observar a seguir.
De $\, MH=\dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots+\dfrac{1}{a_n}}$ , concluímos que
$\qquad \begin{align*} \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots+\dfrac{1}{a_n}$}&=\dfrac{n}{MH}\\ &= \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\underbrace {\dfrac{1}{MH} + \dfrac{1}{MH} + \dfrac{1}{MH} + \, \cdots \, + \dfrac{1}{MH} }_{\text{n vezes}}$}\, . \end{align*}$

Média dos Quadrados – Denominamos Média dos Quadrados (ou média Quadrática) dos números reais positivos $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ ao número denotado por $MQ$ e assim definido:

$\boxed{MQ=\sqrt{\dfrac{a_1^2+a_2^2+a_3^2+\dots+a_n^2}{n}}}.$

A Média dos Quadrados preserva a soma dos quadrados dos números da lista, conforme podemos observar a seguir.
De $\, MQ=\sqrt{\dfrac{a_1^2+a_2^2+a_3^2+\dots+a_n^2}{n}}$ , segue que
$\quad \begin{align*} \, \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$a_1^2+a_2^2+a_3^2+\dots+a_n^2$}&= n\left(MQ\right)^2\\ &= \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\underbrace {\left(MQ\right)^2 + \left(MQ\right)^2 + \left(MQ\right)^2 + \, \cdots \, + \left(MQ\right)^2}_{\text{n vezes}}$} \, .\end{align*}$

► Média Potencial – Denominamos Média Potencial de grau

$\alpha$ dos números reais positivos

$a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ ao número denotado por

$M_{\alpha}$ e assim definido:

$\boxed{M_{\alpha}=\left(\dfrac{a_1^ \alpha + a_2^ \alpha + a_3^ \alpha + \dots + a_n^ \alpha}{n}\right)^ \frac{1}{\alpha}}.$

A Média Potencial generaliza três das quatro médias acima definidas, pois, em particular:
$\qquad M_1=\left(\dfrac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_n}{n}\right)$ é a Média Aritmética;
$\qquad M_2=\left(\dfrac{a_1^2+a_2^2+a_3^2+\dots+a_n^2}{n}\right)^\frac{1}{2}$ é a Média dos Quadrados;
$\qquad M_{-1}=\left(\dfrac{a_1^{-1}+a_2^{-1}+a_3^{-1}+\dots+a_n^{-1}}{n}\right)^{-1}$ é a Média Harmônica.

Embora as médias aritmética e a dos quadrados possam ser definidas para listas de números reais não necessariamente positivos, como estabeleceremos relações entre essas diversas médias e elas também serão aplicadas em problemas de geometria, definimos essas duas médias para números reais positivos, evitando-se a possibilidade de as médias geométrica e harmônica não existirem.

II – Desigualdades

(1) Desigualdade entre as médias Aritmética e Geométrica

$\fcolorbox{black}{#dee5ee}{$ Média\ Aritmética \geqslant Média\ Geométrica$}$

Para dois números reais: Considerando os números reais positivos $a_1$ e $a_2$ , tem-se que

$\boxed{\dfrac{a_1+a_2}{2}\geqslant \sqrt{a_1a_2}}.$

Para ver a demonstração dessa desigualdade, clique no botão abaixo.

Prova.
Se

$a_1$ e

$a_2$ são números reais positivos, sabemos que

$\sqrt{a_1} \,$ e

$\, \sqrt{a_2}$ são números reais e que

$(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2})^2\geqslant 0$ .
Dessa forma, segue que:

$\qquad (\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2})^2\geqslant 0$

$\qquad (\sqrt{a_1})^2-2(\sqrt{a_1})(\sqrt{a_2})+(\sqrt{a_2})^2\geqslant 0$

$\qquad a_1-2\sqrt{a_1 \, a_2}+a_2\geqslant 0$

$\qquad a_1+a_2\geqslant 2\sqrt{a_1 \, a_2}$

$\qquad \dfrac{a_1+a_2}{2}\geqslant \sqrt{a_1 \, a_2}.$
Logo, para dois números reais positivos, podemos escrever que

$\boxed{MA\geqslant MG}$ .

Caso Geral: Considerando os números reais positivos $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ , tem-se que:

$\boxed{\dfrac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_n}{n}\geqslant \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_n}}.$

Para ver a demonstração dessa desigualdade, clique no botão abaixo.

Para estender a desigualdade para qualquer quantidade

$n$ de números reais positivos

$a_1, a_2, \cdots, a_n$ , faremos uso de um LEMA.
Mas o que é um LEMA?
Um Lema é uma proposição preliminar cuja demonstração prévia é necessária para demonstrar uma afirmação principal que se pretende estabelecer, em outras palavras, é um resultado demonstrável que nos ajuda a provar algo.
Pois bem, vamos a ele.

LEMA: Seja

$m$ um número natural.
Suponha que

$\, A \,$ e

$\, G \,$ sejam, respectivamente, a média aritmética e a média geométrica da lista de números reais positivos

$y_1 \, , \, y_2 \, , \, \cdots \, , \, y_m$ , a qual vamos supor já devidamente ordenada (

$y_1 \leqslant y_2 \leqslant \cdots \leqslant y_m$ ) para facilitar a nossa notação.
Então, ao substituirmos o menor elemento dessa lista,

$y_1$ , por

$\, G \,$ e o maior elemento,

$y_m$ , por

$\, \dfrac{y_1\cdot y_m}{G} \,$ , resulta que:

$\qquad \qquad \textcolor{#A2B5CD}{\bullet} \,$ a média aritmética dos números da nova lista é menor do que ou igual à média

$\, A \,$ . E só será igual, quando todos os números

$y_1 \, , \, y_2 \, , \, \cdots \, , \, y_m$ forem iguais.

$\qquad \qquad \textcolor{#A2B5CD}{\bullet} \,$ a média geométrica dos números da nova lista permanece igual à média

$\, G \,$ .
Para ver a demonstração desse resultado, clique no botão abaixo.

Demonstração:
Suponhamos que

$L$ seja a lista de números reais positivos

$y_1 \, , \, y_2 \, , \, \cdots \, , \, y_m$ . Assim, as médias aritmética

$A$ e geométrica

$G$ dos números de

$L$ são:

$\qquad A=\dfrac{y_1+ y_2+ \cdots+ y_m}{m}\quad$ e

$\quad G=\sqrt [m]{y_1 \cdot y_2 \cdot \, \cdots \, \cdot y_m}.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}$
Nomearemos como

$L_1$ a lista resultante de substituirmos

$y_1$ por

$\, G \,$ e

$y_m$ por

$\, \dfrac{y_1\cdot y_m}{G}:$

$\qquad L_1: \boxed{G} \, , \, y_2 \, , \, y_3 \, , \, \cdots \, , \, y_{m-1},\boxed{\dfrac{y_1\cdot y_m}{G}}.$
Sejam

$A_1$ e

$G_1$ respectivamente as médias aritmética e geométrica dos números de

$L_1$ , assim:

$\qquad A_1=\dfrac{G+ y_2+ \cdots+ \frac{y_1\cdot y_m}{G}}{m}\quad$ e

$\quad G_1=\sqrt [m]{G \cdot y_2 \cdot \, \cdots \, \cdot \frac{y_1\cdot y_m}{G}}.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)} \, .$

Observe, inicialmente, que:

$\qquad G_1=\sqrt[m]{G\cdot y_2\cdot \, \cdots \, \cdot y_{m-1}\cdot\frac{y_1\cdot y_m}{G}}\\ \qquad G_1=\sqrt[m]{\cancel{G}\cdot y_2\cdot \, \cdots \, \cdot y_{m-1}\cdot\frac{y_1\cdot y_m}{\cancel{G}}}\\ \qquad G_1=\sqrt [m]{y_1 \cdot y_2 \cdot \, \cdots \, \cdot y_m}\stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{=}G.$
Com isso, temos que $\, \fcolorbox{black}{#d7d7d7}{$G_1=G$} \, .$

Façamos duas observações:

Como
$\; y_1 \leqslant y_1\\ \; y_1 \leqslant y_2\\ \; y_1 \leqslant y_3\\ \; \vdots\\ \; y_1 \leqslant y_{m-1}\\ \; y_1 \leqslant y_{m}\\$
então
$\quad y_1^m \leqslant y_1 \cdot y_2 \cdot \, \cdots \, \cdot y_m\\$ ,
já que a lista é formada por números positivos.
Portanto
$\quad y_1 \leqslant \sqrt[m]{y_1 \cdot y_2 \cdot \, \cdots \, \cdot y_m}=G \, .$

Como
$\; y_1 \leqslant y_m\\ \; y_2 \leqslant y_m\\ \; y_3 \leqslant y_m\\ \; \vdots \\ \; y_{m-1} \leqslant y_m\\ \; y_{m} \leqslant y_m\\$
segue que
$\quad y_1 \cdot y_2 \cdot \, \cdots \, \cdot y_m \leqslant y_m^m \\$ ,
já que a lista é formada por números positivos.
Portanto
$\quad G=\sqrt[m]{y_1 \cdot y_2 \cdot \, \cdots \, \cdot y_m} \leqslant y_m \, .$

Das duas observações, concluímos que $\boxed {y_1 \leqslant G \leqslant y_{m}} \,$ e, dessa dupla desigualdade, podemos concluir que $y_1-G \leqslant 0$ e também que $1-\frac{y_m}{G}\leqslant 0$ , donde $\left(y_1-G \right)\cdot \left(1-\frac{y_m}{G}\right) \geqslant 0.$
De $\left(y_1-G \right)\cdot \left(1-\frac{y_m}{G}\right) \geqslant 0$ , seque que:
$\; y_1-\frac{y_1 \cdot y_m}{G}-G+y_m \geqslant 0\\ \; y_1+y_m \geqslant G+\frac{y_1 \cdot y_m}{G}\\ \; y_1+\left( y_2+ \, \cdots \, +y_{m-1}\right)+y_m \geqslant G+\left( y_2+ \, \cdots \, +y_{m-1}\right)+\frac{y_1 \cdot y_m}{G}\\ \; \dfrac{y_1+ y_2+ \, \cdots \, +y_{m-1}+y_m}{m} \geqslant \dfrac{G+ y_2+ \, \cdots \, +y_{m-1}+\frac{y_1 \cdot y_m}{G}}{m}\\$
Por $\textcolor{#800000}{(i)} \,$ e $\, \textcolor{#800000}{(ii)}$ , podemos então concluir que $A \geqslant A_1$ , ou seja, a média aritmética dos números da nova lista é menor do que ou igual à da lista original.
Finalmente, observe que se $A = A_1$ , então $\left(y_1-G \right)\cdot \left(1-\frac{y_m}{G}\right)= 0$ e, portanto, $y_1-G = 0$ ou $1-\frac{y_m}{G}= 0$ . Mas as afirmações $y_1=G \,$ e $\, y_m=G$ só ocorrem quando todos os números da lista $L$ forem iguais.
Com efeito, se algum elemento $y_i$ da lista $L$ for diferente de $y_1$ (ou de $y_m$ ), então teremos $y_1 \lt y_i$ (ou $y_i \lt y_m$ ) e, portanto, $y_1^m \lt y_1 \cdot y_2 \cdot \, \cdots \, \cdot y_m$ (ou $y_1 \cdot y_2 \cdot \, \cdots \, \cdot y_m \lt y_m^m$ ), ou seja, $y_1 \lt G \,$ (ou $G \lt y_m) \,$ . Deste modo, teríamos $y_1\ne G \,$ (ou $\, y_m\ne G$ ).

Vamos, então, à demonstração de que, para qualquer número natural $n$ , se $a_1, a_2, \cdots, a_n$ são números reais positivos, então $\boxed{\dfrac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_n}{n}\geqslant \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_n}}.$
Sejam $\, MA \,$ e $\, MG \,$ respectivamente a média aritmética e a média geométrica da lista de números reais positivos
$\, L: a_1 \, , \, a_2 \, , \, \cdots \, , \, a_n$ .

Ao substituirmos o menor elemento da lista $L$ , digamos $x$ , por $\, MG \,$ e o maior elemento, digamos $z$ , por $\, \dfrac{x \cdot z}{MG} \,$ , mantendo os demais inalterados, obtemos uma lista $L_1$ cuja média geométrica $\left(MG\right)_1$ e a média aritmética $\left(MA\right)_1$ , segundo o LEMA, são tais que:

$\qquad \qquad \textcolor{#A2B5CD}{\bullet} \,$ $\left(MA\right)_1 \leqslant MA$ e a igualdade só ocorrerá quando todos os números da lista $L$ forem iguais.
$\qquad \qquad \textcolor{#A2B5CD}{\bullet} \,$ $\left(MG\right)_1 = MG$ .

Sejam agora $x_1 \,$ e $\, z_1$ o menor e o maior dos elementos da lista $L_1$ , respectivamente. Substituindo $x_1 \,$ por $\, MG \,$ e $z_1$ por $\, \dfrac{x_1 \cdot z_1}{MG} \,$ , obtemos uma nova lista $L_2$ cuja média geométrica $\left(MG\right)_2$ e a média aritmética $\left(MA\right)_2$ , segundo o LEMA, são tais que:

$\qquad \qquad \textcolor{#A2B5CD}{\bullet} \,$ $\left(MA\right)_2 \leqslant \left(MA\right)_1$ e a igualdade só ocorrerá quando todos os números da lista $L_1$ forem iguais.
$\qquad \qquad \textcolor{#A2B5CD}{\bullet} \,$ $\left(MG\right)_2 = \left(MG\right)_1$ .
Perceba também que, na lista $L_2$ , pelo menos dois elementos são iguais a $MG$ .

Em uma terceira etapa, vamos substituir o menor e o maior dos elementos da lista $L_2$ , digamos $x_2 \,$ e $\, z_2$ , respectivamente por $\, MG \,$ e por $\, \dfrac{x_2 \cdot z_2}{MG} \,$ . Com isso, obtemos uma terceira lista $L_3$ cuja média geométrica $\left(MG\right)_3$ e a média aritmética $\left(MA\right)_3$ , segundo o LEMA, são tais que:

$\qquad \qquad \textcolor{#A2B5CD}{\bullet} \,$ $\left(MA\right)_3 \leqslant \left(MA\right)_2$ e a igualdade só ocorrerá quando todos os números da lista $L_2$ forem iguais.
$\qquad \qquad \textcolor{#A2B5CD}{\bullet} \,$ $\left(MG\right)_3 = \left(MG\right)_2$ .
Perceba que a lista $L_3$ tem pelo menos três elementos iguais a $MG$ .

Prosseguindo dessa forma, depois de no máximo $n$ etapas, obteremos uma lista $L^*$ com $n$ números iguais a $MG$ . Por sucessivas aplicações do LEMA temos que, se a média geométrica e a média aritmética de $L^*$ forem, respectivamente, $\left(MG\right)^*$ e $\left(MA\right)^*$ , então:
$\qquad \qquad \textcolor{#A2B5CD}{\bullet} \,$ $\left(MA\right)^* \leqslant \cdots \leqslant \left(MA\right)_3 \leqslant \left(MA\right)_2 \leqslant \left(MA\right)_1 \leqslant MA \, .\qquad \textcolor{#800000}{(iii)}$
$\qquad \qquad \textcolor{#A2B5CD}{\bullet} \,$ $\left(MG\right)^*= \, \cdots \, =\left(MG\right)_3 =\left(MG\right)_2 = \left(MG\right)_1=MG$
Mas sabemos que na lista $L^*$ os $n$ números são iguais a $MG$ e isso significa que:
$\qquad \qquad \textcolor{#A2B5CD}{\bullet} \,$ $\left(MA\right)^* =\dfrac{\overbrace{MG+ MG+ \, \cdots \, +MG}^{n\text{ parcelas}}}{n}=\dfrac{n\cdot MG}{n}=MG \, .\qquad \textcolor{#800000}{(iv)}$
Por $\textcolor{#800000}{(iii)} \,$ e $\, \textcolor{#800000}{(iv)}$ obtemos que $MG =\left(MA\right)^*\leqslant MA$ , ou seja, $MA \geqslant MG$ , o que nos garante que
$\qquad \qquad \boxed{\dfrac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_n}{n}\geqslant \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_n}}.$
Para finalizar, note que só teremos $MG = MA$ se, em cada uma das etapas a média aritmética se manteve constante. E isso só ocorreria se todas as listas tivessem seus elementos iguais; em particular, a lista inicial $L$ . Portanto $MG = MA$ só ocorre se todos os $a_i$ ’s forem iguais.

Se você sabe o que é uma demonstração por indução,
clique no botão abaixo para ver uma segunda prova desta desigualdade.

Agora, vamos estender, mais uma vez, a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica para $n$ números reais positivos $a_1, a_2, \cdots, a_n$ . Para isso, também faremos uso de um LEMA.

Já sabemos que um lema é uma proposição preliminar cuja demonstração prévia é necessária para demonstrar a tese principal que se pretende estabelecer. Em outras palavras, é um resultado demonstrável que nos ajuda a provar algo. Então, vamos a ele.

LEMA: Dados

$a_1, a_2, \cdots, a_n$ números reais positivos, se

$a_1 \cdot a_2 \cdot \, \dots \, \cdot a_n=1$ , então

$a_1+a_2+ \cdots +a_n \geqslant n$ .

Prova do LEMA:
Faremos a demonstração por indução.

Base da indução: para $n=1$ , $a_1=1$ , então $1 \geqslant 1$ ;
Nossa hipótese de indução é para $n=k$ : se $a_1\cdot a_2\cdot \, \cdots \, \cdot a_k=1$ , então $a_1+a_2+ \cdots + a_k \geqslant k.$

Portanto, nossa tese é para $n=k+1$ : se $a_1\cdot a_2\cdot \, \cdots \, \cdot a_k \cdot a_{k+1}=1$ , então $a_1+a_2 \cdots + a_k+a_{k+1} \geqslant k+1.$

Observe que se $a_1=a_2= \cdots =a_k=a_{k+1}=1$ , a referida desigualdade está provada. Mas, se nem todos forem iguais a $1$ , duas observações devem ser levadas em conta:
$(1)$ Nem todos esses números podem ser maiores que $1$ , pois o produto de todos eles seria maior que $1$ .
$(2)$ Nem todos esses números podem ser menores que $1$ , pois o produto de todos eles seria menor que $1$ .
Desta forma,

por $(1)$ , concluímos que pelo menos um dos números em questão não é maior que $1$ : admitamos, sem perda de generalidade, que $a_{k+1} \leqslant 1$ ;
por $(2)$ , concluímos que pelo menos um dos números em questão não é menor que $1$ : admitamos, sem perda de generalidade, que $a_k \geqslant 1$ .

Agora, perceba que, nessas condições, $(a_k-1)\cdot (1-a_{k+1}) \geqslant 0$ , já que $a_k-1 \geqslant 0$ e $1-a_{k+1} \geqslant 0$ .
Logo, desenvolvendo este produto, vem:
$\qquad a_k-a_k \cdot a_{k+1}-1+a_{k+1} \geqslant 0$
$\qquad a_k+a_{k+1}-a_k \cdot a_{k+1} \geqslant 1. \qquad \textcolor{#800000}{(I)}$
Deixemos este resultado guardado para utilizarmos daqui a pouco.
Voltando à prova do lema, perceba que, se considerarmos o produto $a_k \cdot a_{k+1}$ como um único número, o produto $a_1\cdot a_2\cdot \, \cdots \, \cdot a_k \cdot a_{k+1}=1$ , terá $k$ fatores e será igual a $1$ :
$\qquad a_1 \cdot a_2 \cdot \, \cdots \, \cdot a_{k-1} \cdot (a_k \cdot a_{k+1})=1.$
Assim, por hipótese de indução,
$\qquad a_1+a_2+ \cdots +a_{k-1}+(a_k \cdot a_{k+1}) \geqslant k$ ,
e, então,
$\qquad a_1+a_2+ \cdots +a_{k-1} \geqslant k-a_k \cdot a_{k+1}$ .
Adicionando $a_k+a_{k+1}$ a ambos os membros dessa última desigualdade, obtemos:
$\; a_1+a_2+ \cdots +a_{k-1}+a_k+a_{k+1} \geqslant k-a_k \cdot a_{k+1}+a_k+a_{k+1}. \quad \textcolor{#800000}{(II)}$
Perceba que, por $\textcolor{#800000}{(I)}$ e $\textcolor{#800000}{(II)}$ ,
$\qquad a_k+a_{k+1}-a_k \cdot a_{k+1} \geqslant 1$
$\qquad a_k+a_{k+1}-a_k \cdot a_{k+1}+k \geqslant 1+k$
$\qquad \qquad a_1+a_2+ \cdots +a_{k+1} \geqslant k+1$ ,
o que demonstra o LEMA.

Vamos, agora, finalizar a demonstração da desigualdade entre as médias Aritmética e Geométrica.
Pois bem, sabemos que $\boxed{(MG)^n=a_1 \cdot a_2 \, \cdot \cdots \, \cdot a_n} \,$ , assim:

$\dfrac{a_1}{MG} \cdot \dfrac{a_2}{MG} \cdot \, \cdots \, \cdot \dfrac{a_n}{MG} = 1.$

Observe que estamos diante de um produto igual a $1$ e cujos fatores são $n$ números reais positivos. Dessa forma, pelo LEMA, podemos escrever:

$\dfrac{a_1}{MG}+\dfrac{a_2}{MG}+ \cdots +\dfrac{a_n}{MG} \geqslant n$
$\, \, \\ a_1+a_2+ \cdots +a_n \geqslant n \cdot MG\\ \, \, \\$
$\dfrac{a_1+a_2+ \cdots +a_n}{n} \geqslant MG$
$\, \, \\ \qquad MA \geqslant MG$

o que conclui a prova.

Consequências diretas da desigualdade entre as médias Aritmética e Geométrica:
Quando a soma de $n$ números positivos for uma constante, o produto destes $n$ números será máximo quando todos eles forem iguais;
Quando o produto de $n$ números positivos for uma constante, a soma destes $n$ números será mínima quando todos eles forem iguais.

(02) Desigualdade entre as médias Geométrica e Harmônica

$\, \fcolorbox{black}{#dee5ee}{$ Média\ Geométrica \geqslant Média\ Harmônica$}$

Se $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ são números reais positivos, então

$\boxed{\sqrt[n]{a_1a_2a_3 \dots a_n} \geqslant \dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots+\dfrac{1}{a_n}}},$

e a igualdade só ocorre para $a_1=a_2=a_3= \dots=a_n$ .

Para ver uma demonstração dessa desigualdade, clique no botão abaixo.

Aplicando a desigualdade

$MA\geqslant MG$ para os números reais positivos

$\dfrac{1}{a_1}, \dfrac{1}{a_2}, \dfrac{1}{a_3},\dots, \dfrac{1}{a_n}$ , obtemos:

$\qquad \qquad \dfrac{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots+\dfrac{1}{a_n}}{n} \geqslant \sqrt[n]{\dfrac{1}{a_1}\cdot \dfrac{1}{a_2}\cdot \dfrac{1}{a_3}\dots \dfrac{1}{a_n}}$ ,
donde segue que:

$\\ \\ \, \, \qquad \dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots+\dfrac{1}{a_n} \geqslant \dfrac{n}{\sqrt[n]{a_1a_2a_3 \dots a_n}}\\ \\ \, \, \qquad \sqrt[n]{a_1a_2a_3 \dots a_n} \geqslant \dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots+\dfrac{1}{a_n}}.\qquad \textcolor{#800000}{(v)}$

Note que a igualdade em $\textcolor{#800000}{(v)}$ acarreta a igualdade $MA= MG$ , que só ocorre para $a_1=a_2=a_3= \dots=a_n$ .

(03) Desigualdade entre as médias Aritmética e Harmônica

$\, \fcolorbox{black}{#dee5ee}{$ Média\ Aritmética \geqslant Média\ Harmônica$}$

Se $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ são números reais positivos, então

$\boxed{\dfrac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_n}{n}\geqslant \dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots+\dfrac{1}{a_n}}}.$

Para ver uma demonstração dessa desigualdade, clique no botão abaixo.

A demonstração é imediata, uma vez que

$MA\geqslant MG$ e

$MG\geqslant MH$ . Portanto

$MA\geqslant MH$ , ou seja,

$\boxed{\dfrac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_n}{n}\geqslant \dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots+\dfrac{1}{a_n}}}.$

É importante observar que, de $MA\geqslant MH$ , segue que
$\, \, \\ \qquad \dfrac{a_1+a_2+a_3+\dots a_n}{n}\geqslant \dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots+\dfrac{1}{a_n}}\\ \\ \, \, \, \\ \qquad (a_1+a_2+a_3+\dots +a_n)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots +\dfrac{1}{a_n}\right)\geqslant n^2.\\$

Que tal assistir a um vídeo com provas geométricas dessas três desigualdades?

É só clicar na setinha.

(04) Uma desigualdade entre médias Potenciais e a média Geométrica

Se $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ são números reais positivos e $\alpha \lt 0 \lt \beta$ , então

$\fcolorbox{black}{#dee5ee}{$M_\alpha \leqslant MG \leqslant M_\beta$}.$

Para ver uma demonstração dessa desigualdade, clique no botão abaixo.

Consideremos, inicialmente, os números reais positivos $a_1^{\alpha}, a_2^{\alpha}, a_3^{\alpha}, \dots, a_n^{\alpha}.$

Como $MG \leqslant MA$ , temos que
$\quad \sqrt[n]{a_1^\alpha \cdot a_2^\alpha \cdot a_3^\alpha \dots a_n^{\alpha^ \, }} \leqslant \dfrac{a_1^\alpha + a_2^\alpha + a_3^\alpha + \dots + a_n^\alpha}{n}.\qquad \textcolor{#800000}{(vi)}\\ \, \,$
Por outro lado, como $\alpha \lt 0 \lt \beta$ , temos que $\dfrac{1}{\alpha} \lt 0$ . Assim, elevando a desigualdade $\textcolor{#800000}{(vi)}$ à potência $\dfrac{1}{\alpha}$ , obtemos:
$\, \, \\ \quad \left(\sqrt[n]{a_1^\alpha \cdot a_2^\alpha \cdot a_3^\alpha \dots a_n^{\alpha }}\right)^\frac{1}{\alpha} \geqslant \left(\dfrac{a_1^\alpha + a_2^\alpha + a_3^\alpha + \dots + a_n^\alpha}{n}\right)^\frac{1}{\alpha}\\ \, \, \\ \quad \left(\sqrt[n]{\left(a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_n \right)^{\alpha }}\right)^\frac{1}{\alpha} \geqslant \left(\dfrac{a_1^\alpha + a_2^\alpha + a_3^\alpha + \dots + a_n^\alpha}{n}\right)^\frac{1}{\alpha}\\ \, \, \\ \quad \left(\left(\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_n }\right)^{\alpha }\right)^\frac{1}{\alpha} \geqslant \left(\dfrac{a_1^\alpha + a_2^\alpha + a_3^\alpha + \dots + a_n^\alpha}{n}\right)^\frac{1}{\alpha}\\ \, \, \\ \quad \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_n} \geqslant \left(\dfrac{a_1^\alpha + a_2^\alpha + a_3^\alpha + \dots + a_n^\alpha}{n}\right)^\frac{1}{\alpha}\\ \, \, \\ \quad MG \geqslant M_\alpha \, ,\\ \, \,$
de onde concluímos que $M_\alpha \leqslant MG.$

Agora, perceba que para os números reais positivos $a_1^{\beta }, a_2^{\beta }, a_3^{\beta }, \dots, a_n^{\beta }$ também temos $MG \leqslant MA$ ; logo

$\qquad \sqrt[n]{a_1^\beta \cdot a_2^\beta \cdot a_3^\beta \dots a_n^\beta} \leqslant \dfrac{a_1^\beta + a_2^\beta + a_3^\beta + \dots + a_n^\beta}{n}; \qquad \textcolor{#800000}{(vii)}\\ \, \,$
e, portanto, elevando a desigualdade $\textcolor{#800000}{(vii)}$ à potência $\dfrac{1}{\beta}$ , como $\beta \gt 0$ , obtemos:
$\, \, \\ \qquad \left(\sqrt[n]{a_1^\beta \cdot a_2^\beta\cdot a_3^\beta\dots a_n^{\beta}}\right)^\frac{1}{\beta} \leqslant \left(\dfrac{a_1^\beta+ a_2^\beta+ a_3^\beta+ \dots + a_n^\beta}{n}\right)^\frac{1}{\beta}\\ \, \, \\ \qquad \left(\sqrt[n]{\left(a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_n \right)^{\beta}}\right)^\frac{1}{\beta} \leqslant \left(\dfrac{a_1^\beta + a_2^\beta+ a_3^\beta+ \dots + a_n^\beta}{n}\right)^\frac{1}{\beta}\\ \, \, \\ \qquad \left(\left(\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_n }\right)^{\beta}\right)^\frac{1}{\beta} \leqslant \left(\dfrac{a_1^\beta + a_2^\beta+ a_3^\beta+ \dots + a_n^\beta}{n}\right)^\frac{1}{\beta}\\ \, \, \\ \qquad \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_n} \leqslant \left(\dfrac{a_1^\beta+ a_2^\beta+ a_3^\beta+ \dots + a_n^\beta}{n}\right)^\frac{1}{\beta}\\ \, \, \\ \qquad MG \leqslant M_\beta \, ,\\ \, \,$
de onde concluímos que $MG \leqslant M_\beta.$

Assim, $M_\alpha \leqslant MG \leqslant M_\beta.$
Observe que essas duas desigualdades foram obtidas a partir da desigualdade entre as médias Aritmética e Geométrica; assim, as duas igualdades só ocorrem se $a_1=a_2=\cdots=a_n.$

Provamos que se $\alpha \lt 0 \lt \beta$ , então, particularmente, $M_{\alpha} \leqslant M_{\beta}.$
Mas é possível estabelecer outra desigualdade importante envolvendo médias potenciais:

Se $a_1, a_2, \dots, a_n$ são reais positivos e se $0 \lt \alpha \leqslant \beta$ , então $M_{\alpha} \leqslant M_{\beta}.$

Será que você poderia prová-la?

Observe que utilizando essa desigualdade podemos garantir que $M_1 \leqslant M_2$ , ou seja, $MA \leqslant MQ.$

Agora que vocês já conhecem algumas médias e importantes desigualdades envolvendo-as, que tal conhecer algumas aplicações do que foi desenvolvido nesta Sala?
É só clicar AQUI!

Equipe COM – OBMEP

Novembro de 2018.

Referências:
[1] BACELAR, Robério, Material desenvolvido para o PECI – OBMEP.
[2] Revista Eureka – volume 5 (Último acesso em 09/11/18)
[3] ARTOLA, Victor Hugo Laurente Artola, Desigualdades – Olimpíadas Matemáticas. Perú Asociación Fondo de Investigadores y Editores, 2008.