Oficina
Construindo uma tabela trigonométrica
Na Internet ou em livros didáticos encontramos tabelas trigonométricas que nos fornecem valores de seno, cosseno e tangente para ângulos de [tex]1^{\circ}[/tex] a [tex]89^{\circ}[/tex], variando de grau em grau na maioria das vezes, embora razões trigonométricas possam ser calculadas para ângulos com medidas não inteiras. Essas tabelas foram criadas para facilitar cálculos que envolvam trigonometria, pois, fazendo uso de uma delas, basta procurar os valores numéricos do seno, cosseno e tangente referentes aos ângulos disponibilizados.
Nos dias de hoje, uma calculadora científica fornece instantaneamente qualquer dos dados que extraímos de uma tabela trigonométrica, mas nem sempre foi assim.
Na verdade, tabelas trigonométricas são conhecidas desde os tempos de Hiparco e Ptolomeu e foram largamente utilizadas na tentativa de se entender o universo, a partir de observações sobre estrelas e planetas. Mas, mesmo não dispondo de qualquer instrumento de medida eletrônico, os gregos antigos construíram tabelas que forneciam razões trigonométricas com precisão admirável! Com esta atividade, vocês terão a oportunidade de se transportarem para o passado e repetirem esse feito, construindo suas próprias tabelas trigonométricas.
Não precisam ficar apavorados, pois não será necessário calcular o valor do seno, cosseno e tangente para muitos ângulos: definiremos apenas oito medidas em graus para compor a tabela que vocês irão construir. E mais do que isso: observem que, pela relação de material necessário para o desenvolvimento da oficina, vocês vão poder utilizar calculadoras, o que lhes dará uma enorme vantagem com relação aos povos antigos, não é?
Vamos lá?
Construindo uma tabela trigonométrica
I – Objetivo da oficina
Obter aproximações para os valores do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos com as seguintes medidas:
[tex]\qquad \qquad \, 20^{\circ}, \, 30^{\circ}, \, 40^{\circ}, \, 45^{\circ}, \, 50^{\circ}, \, 60^{\circ}, \, 70^{\circ}, \, 80^{\circ}[/tex]
utilizando as respectivas definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo dado.
II – Material necessário
✓ papel;
✓ calculadoras;
✓ borracha;
✓ caneta;
✓ lápis;
✓ régua;
✓ esquadros;
✓ transferidor;
✓ compasso;
✓ Cópias das tabelas abaixo.
Tabela 1
Para imprimir a Tabela 1, clique AQUI.
Para obter o arquivo da Tabela 1, clique AQUI.
Tabela 2
Para imprimir a Tabela 2, clique AQUI.
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III – Procedimento
Para cada uma das oito medidas [tex]\theta[/tex] definidas:
(1) Construir um ângulo de medida [tex]\theta[/tex].
Se vocês não se lembram do que é um ângulo, cliquem AQUI.
(2) Utilizando a régua, os esquadros e o compasso, construir um triângulo retângulo conveniente, a partir do ângulo [tex]\theta[/tex] construído em (1). Vocês podem obter o ângulo reto utilizando os esquadros ou, com mais precisão, utilizando a régua e o compasso. (Se vocês não sabem como, clique aqui.)
(3) Utilizando a régua, medir a hipotenusa do triângulo retângulo construído em (2), assim como os catetos oposto e adjacente ao ângulo [tex]\theta[/tex].
(4) Calcular as razões que definem o seno, o cosseno e a tangente do ângulo de medida [tex]\theta[/tex]:
[tex]\qquad\dfrac{cateto \, oposto \, a \, \theta}{hipotenusa} \, \qquad[/tex] [tex]\qquad\dfrac{cateto \, adjacente \, a \, \theta}{hipotenusa} \, [/tex] [tex] \, \qquad \dfrac{cateto \, oposto \, a \, \theta}{cateto \, adjacente \, a \, \theta} \, [/tex].
(5) Transportar os valores calculados em (4) para as Tabelas 1 e 2.
(6) Verifiquem, com uso de uma calculadora científica, os valores encontrados. Transportem os valores para a Tabela 2, calculem os erros percentuais e completem o preenchimento da Tabela 2. Só não se esqueçam de configurar a medida de ângulos da calculadora para graus antes de utilizá-la.
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Para ajudá-los na execução da Oficina, disponibilizamos um applet.
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Um applet para ajudar
Vocês podem utilizar o applet abaixo disponibilizado para acompanhar e conferir as etapas de procedimento da Oficina: é só clicar no botão e seguir as instruções.
Bom trabalho, pessoal!
Equipe COM – OBMEP