Funções
…E os gráficos?
O gráfico de uma função [tex]f: A \rightarrow B[/tex] é o conjunto dos pares ordenados [tex](x,f(x))[/tex], com [tex]x \in A[/tex]. Ao apresentarmos apenas essa definição com certeza frustramos àqueles que esperavam um festival de curvas…
Mas, independente da expectativa de cada um, definidos o domínio e o contradomínio de uma função, o seu gráfico é simplesmente o que foi definido: um conjunto que mostra a dependência entre cada elemento do domínio e sua imagem.
Possivelmente vocês estão habituados a lidar com funções cujos domínios e contradomínios são subconjuntos de [tex]\mathbb {R}[/tex], conjunto dos números reais; e, como pares ordenados de números reais têm representações geométricas, o gráfico desse tipo de função produz aqueles desenhos com os quais vocês estão habituados. Essa classe de funções, conhecidas como funções reais com imagens reais, é muito importante, mas nem toda função é desse tipo e, portanto, nem todo gráfico de função produz curvas.
Vamos mais além: em um estudo matemático sobre funções, teríamos que justificar que os gráficos que vocês conhecem são, de fato, os gráficos daquelas funções a eles associadas. Isso mesmo, com exceção das retas, certamente não foi feita uma construção matemática dos gráficos que vocês conhecem.
Por exemplo, por que o gráfico da função de [tex]\mathbb{R}[/tex] em [tex]\mathbb{R}[/tex] dada por [tex]f(x)=x^2[/tex] é aquela conhecida parábola? Bem, sair encontrando pares [tex](x,x^2)[/tex] para alguns números reais certamente não é a garantia de que o gráfico dessa [tex]f[/tex] é este
Por favor, não se sintam prejudicados pelos seus professores; naquele momento que lhes foi apresentada a parábola, só poderia ser feito o que foi feito: …o gráfico da função de [tex]\mathbb{R}[/tex] em [tex]\mathbb{R}[/tex] dada por [tex]f(x)=x^2[/tex] é esse…
E não só a parábola, qualquer gráfico que vocês conhecem foi “apresentado” e não “matematicamente construído”, já que a construção rigorosa de gráficos no plano exige ferramentas matemáticas específicas que dependem de um belo e importante conceito – limite, e de outra ferramenta decorrente da definição de limite: derivada.
Limites são ferramentas que permitem, por exemplo, saber o que acontece com as imagens de valores reais muito próximos aos valores que causam problemas na regra que define uma função. Podemos também utilizar limites para observar o que acontece com as imagens de valores “muito grandes”, positivamente falando, ou “muito pequenos”, negativamente falando, do domínio. Derivadas, por sua vez, são ferramentas que permitem estudar o crescimento/decrescimento de uma função ou mesmo a concavidade do seu gráfico.
Não temos a menor intenção de tratar desses objetos matemáticos neste curso (e nem teríamos tempo para isso); este módulo é apenas para que vocês tenham ciência de que a construção rigorosa de gráficos de funções cujos domínios e contradomínios são subconjuntos do conjunto dos números reais precisa de ferramentas matemáticas adequadas.
Para aqueles que não conhecem muitos gráficos de funções, vamos disponibilizar alguns exemplos que estão em um livro muito utilizado nas disciplinas iniciais de Cálculo Diferencial e Integral de várias universidades brasileiras: Um curso de Cálculo – volume 1; Hamilton Luiz Guidorizzi.
A abordagem desses exemplos não é a de construções rigorosas, pois o material está nas páginas iniciais do livro. Nas páginas mais adiante o assunto é tratado com todo o rigor necessário.
Para copiar o material, clique no botão abaixo.
Bons estudos!
Equipe COM – OBMEP