.Probleminha: Soldados divididos

Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)

(UERJ) $1440$ soldados são divididos em $x$ equipes, de modo que todas as equipes tenham o mesmo número de soldados e o número de soldados em cada equipe seja par.
Qual a quantidade de valores possíveis para $x$ ?

Solução

Vamos resolver o problema supondo que cada soldado participa de apenas uma equipe. Primeiramente, precisamos decompor $1440$ em fatores primos:
$\,\\ \qquad \qquad \begin{array}{r|l}1440 & 2\\720 & 2\\360 & 2\\180 & 2\\90 & 2\\45 & 3 \\15 & 3 \\5 & 5\\1 & \end{array}\\ \,\\$
Assim, $1440=2^5\cdot 3^2\cdot 5$ .
Agora, é só determinarmos quantos divisores pares tem $1440$ .

IMPORTANTE: Quando vamos determinar a quantidade de divisores de um número natural não nulo, decompomos o número em fatores primos, depois tomamos os expoentes das bases primas, somamos $1$ a cada expoente e, em seguida, multiplicamos todas as somas obtidas.
Por exemplo, quantos divisores tem $24$ ?
$24=2^3\cdot 3$ ; logo a quantidade de divisores do $24$ é $\boxed{(3+1)\cdot(1+1)=8}$ .
Agora, para encontrarmos os divisores pares, basta fazermos a mesma coisa, só que não somamos $1$ ao expoente de base $2$ (Você saberia explicar porque? Não? Então leia este texto).
No mesmo exemplo, vamos encontrar os divisores pares:
$24=2^3\cdot3$ ; assim a quantidade de divisores pares do $24$ é $\boxed{(3)\cdot(1+1)=6}$ .

Voltando ao problema, vamos determinar os divisores pares de $1440$ .
Como $1440=2^5\cdot 3^2\cdot 5$ , basta fazer $\boxed{5\cdot(2+1)\cdot(1+1)=30}.$
Assim, a quantidade de equipes com quantidades pares de soldados é $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 30 $}\,.$