Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)
É possível cobrir uma malha quadriculada 6X6 com 18 dominós que ocupem, cada um, exatamente 2 quadrados adjacentes, sem que exista qualquer linha falha?
Consideramos uma linha falha qualquer segmento que vá de um lado a outro do tabuleiro sem que atravesse qualquer dominó.
![linha falha](http://clubes.obmep.org.br/blog/wp-content/uploads/2014/05/linha-falha-300x295.jpg)
Se você quiser ler um pouco mais sobre linha falha, clique aqui.
Na Ludoteca do BLOG dos Clubes de Matemática da OBMEP (mais precisamente em Aparatos >>>>Um desafio legal!) é possível fazer uma simulação para este desafio.
Em http://www.geogebratube.org/material/show/id/119837 também é possível acessar o aparato e fazer algumas tentativas para ajudar a chegar à conclusão . . .
Solução
Em um tabuleiro 6×6 existem 5 linhas na horizontal e 5 linhas na vertical, as quais podem ser interceptadas por um dominó. Mas é importante notar que um dominó colocado de forma a cobrir dois quadrados do tabuleiro ou bem interceptará uma linha vertical, ou bem interceptará uma linha horizontal; mas nunca ambas simultaneamente.
Nosso tento é cobrir um tabuleiro 6×6, sem que haja qualquer linha falha. Em outras palavras, isto quer dizer que todos os segmentos (verticais e horizontais) no interior do tabuleiro devem ser interceptados por, pelo menos, um dominó.
Mas, antes de mais nada, observamos que:
- Se uma determinada linha for interceptada por um dominó, invariavelmente será interceptada por outro também.
Acompanhem, a seguir, por que isso acontece.
- Se um dominó intercepta uma determinada linha, esta dividirá o tabuleiro em duas regiões (como ilustram as áreas verde e rosa da representação acima). Como cada uma dessas regiões tinha inicialmente um número par de casas e o dominó cobriu uma casa de cada uma delas, ficamos com um número ímpar de casas descobertas em cada região. Mas cada dominó cobre duas casas; logo, não conseguiremos distribuir os dominós restantes de modo que cada um deles cubra duas casas de uma só região. Portanto, necessariamente haverá outro dominó (pelo menos) interceptando a mesma linha.
A partir dessa observação já conseguimos resolver o problema!
Observe que temos um total 10 linhas (5 horizontais e 5 verticais) a serem interceptadas por dominós e para cruzar por cada uma delas precisamos de, pelo menos, 2 dominós. Isso significa que precisaríamos de, no mínimo, 20 dominós para cobrir o tabuleiro nessas condições; no entanto, isso não é possível, tendo em vista que dispomos de apenas 18 dominós.
Assim, é impossível cobrir o tabuleiro 6×6 com 18 dominós, sem que haja qualquer linha falha.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.