.Problemão: A volta do gatinho

Problema
(Indicado a partir do 3º ano do E. M.)


Suponha que um gato está sobre uma escada (não necessariamente no centro dela) que está apoiada em uma parede perpendicular ao solo, como ilustra a figura abaixo.
Gato na escadaSe a escada desliza por todas as posições possíveis (da vertical, quando se encontra toda junto à parede, até a horizontal, quando encosta completamente no solo), qual será a trajetória descrita pelo gato? Considere que o gato permaneceu imóvel sobre a escada e despreze o tamanho do mesmo.

Visualização do problema


Para visualizar o problema, utilize o applet abaixo.
Você também tem a opção de copiar o arquivo .ggb disponibilizado abaixo e utilizar o applet no GeoGebra do seu computador.

1) Abra o applet e aguarde o arquivo carregar.
2) Para reiniciar a construção, clique nas setinhas que aparecem no canto superior direito do applet .

Para abrir o applet, clique AQUI

OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra

Observamos que a planilha ajuda na visualização do resultado; mas, matematicamente, não substitui sua demonstração.

Solução


RESPOSTA: Se o gato estiver no topo ou no pé da escada, a trajetória que ele descreve será um segmento de reta; caso contrário, a trajetória descrita pelo gato será um quarto de elipse.
Veja abaixo uma solução analítica do problema, quando o gato não está no topo e nem no pé da escada.
Essa solução foi desenvolvida pelo aluno Mateus Gomes Lucas.

Parametrização de uma elipse


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .

Visualização da solução


Para visualizar os dois casos extremos do problema (o gatinho está no topo ou no pé da escada), utilize o gif animado abaixo.

Consideramos dois gatinhos (um no topo e outro no pé da escada), como os pontos G1 e G2 e a escada como um segmento de reta. Dessa forma desenhamos as trajetórias dos dois gatinhos em um mesmo plano contendo o segmento de reta e os dois pontos em questão.
gatinhofinal22

Para visualizar três casos particulares da solução geral apresentada, utilize o gif animado abaixo.

Consideramos os três gatinhos como os pontos G1, G2 e G3 e a escada como um segmento de reta.
Desenhamos as trajetórias em um plano contendo o segmento de reta e os três pontos em questão.
gatinhofinal1

Participou da discussão o Clube: Fermatianos.

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/problemao-a-volta-do-gatinho/

Deixe uma resposta