.Problema para ajudar na escola: Uma soma com 120 parcelas!

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio )

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O Princípio Fundamental da Contagem nos ensina que existem $120$ números de quatro dígitos distintos formados apenas pelos algarismos $1$, $2$, $3$, $4$ e $5$. Ao somar esses $120$ números, obtém-se a soma $S$.
Qual o valor de $S$?

Solução

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Vamos colocar esses $120$ números um debaixo do outro para somá-los.

$\begin{array}{c c c c } 1&2&3&4\\ 1&2&3&5\\ 1&2&4&3\\ 1&2&4&5\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 5&4&3&1\\ 5&4&3&2\\ \hline \end{array}\quad +$

Como são $120$ números, perceba que cada um dos dígitos $1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5$ aparecerá $120 \div 5=24$ vezes em cada coluna. Dessa forma, a soma dos dígitos de cada coluna será
$\qquad\quad \begin{align*}1\times 24+2 \times 24+3 \times 24+4 \times 24+5 \times 24&=(1+2+3+4+5)\times24\\ &=15\times24=360.\end{align*}$
Pronto, já podemos fazer a nossa soma:

• Como a soma dos números de cada coluna é $360$, abaixo da coluna das unidades, colocamos $\textcolor{red}{0}$ e levamos $\textcolor{red}{36}$ para a coluna das dezenas.
• Na coluna da dezenas também aparece a soma $360$, acrescida dos $\textcolor{red}{36}$ que "levamos": $360+\textcolor{red}{36}=396$.
  Assim, abaixo da coluna das dezenas, colocamos $\textcolor{blue}{6}$ e levamos $\textcolor{blue}{39}$ para a coluna das centenas.
• Para a coluna das centenas, faremos a soma $360+\textcolor{blue}{39}=399$; assim, abaixo da coluna das centenas, colocamos $\textcolor{#32CD32}{9}$ e levamos $\textcolor{#32CD32}{39}$ para a coluna dos milhares.
• Finalizamos a nossa conta, fazendo uma última soma: $360+\textcolor{green}{39}=399.$

$\begin{array}{c c c c } \textcolor{#32CD32}{\underline{39}}&\textcolor{blue}{\underline{39}}&\textcolor{red}{\underline{36}}&\\ 1&2&3&4\\ 1&2&3&5\\ 1&2&4&3\\ 1&2&4&5\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 5&4&3&1\\ 5&4&3&2\\ \hline 399&\textcolor{#32CD32}{9} &\textcolor{blue}{6} & \textcolor{red}{0}& \end{array}+$

Portanto, a soma dos $120$ números de quatro dígitos distintos formados apenas pelos algarismos $1$, $2$, $3$, $4$ e $5$ é $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$S=399\,960$} \, .$

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Observação: Se você não entendeu porque o enunciado garante que existem $120$ números de quatro dígitos distintos formados pelos cinco algarismos em questão, perceba que, se $ABCD$ é um número dessa forma, então $A, \, B, \, C, \, D \,$ são algarismos distintos e

• temos cinco escolhas possíveis para o dígito $A \,$;
• escolhido $A \,$, temos quatro escolhas possíveis para o dígito $B \,$;
• escolhido $B \,$, temos três escolhas possíveis para o dígito $C \,$;
• escolhido $C \,$, temos duas escolhas possíveis para o dígito $D \,$.

$\qquad \begin{array}{c c c c } A & B & C & D\\ \overline{\textcolor{#800000}{5}\text{ escolhas}}&\overline{\textcolor{#800000}{4}\text{ escolhas}}&\overline{\textcolor{#800000}{3}\text{ escolhas}}&\overline{\textcolor{#800000}{2}\text{ escolhas}} \end{array}$

Assim, pelo princípio Fundamental da Contagem, o número de modos distintos de obtermos $ABCD$ é dado por $\, \boxed{\textcolor{#800000}{5}\times \textcolor{#800000}{4}\times \textcolor{#800000}{3}\times \textcolor{#800000}{2}=120} \, .$

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.