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Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)
(XXX OPM – Adaptado) Fernanda estava brincando com algumas caixas coloridas de papelão que ela ganhou.
Depois de enfileirá-las, decidiu marcar cada caixa com um número inteiro, segundo uma regra curiosa:
- A primeira caixa foi marcada com o número [tex]1[/tex].
- A partir da primeira, o número com que Fernanda marcou cada caixa foi a soma dos números com que ela marcou a caixa anterior e a seguinte.
Quantas caixas Fernanda conseguiu marcar sem repetir números já utilizados?
Solução
Suponha que a segunda caixa tenha sido marcada com o número [tex]x.[/tex]
Dessa forma:
- A terceira foi marcada assim
[tex]\quad 1\quad \boxed{x} \quad \boxed {t_3=x-1}[/tex],
já que [tex]x=1+t_3[/tex]. - A quarta caixa foi marcada assim
[tex]\quad 1\quad \boxed{x} \quad \boxed {x-1} \quad \boxed{t_4=-1}[/tex],
já que [tex]t_4+x=x-1[/tex]. - A quinta caixa foi marcada assim
[tex]\quad 1\quad \boxed{x} \quad \boxed {x-1} \quad \boxed{-1} \quad \boxed {t_5=-x} [/tex],
já que [tex]t_5+x-1=-1[/tex]. - A sexta caixa foi marcada assim
[tex]\quad 1\quad \boxed{x} \quad \boxed {x-1} \quad \boxed{-1} \quad \boxed {-x} \quad \boxed{t_6=-x+1} [/tex],
já que [tex]t_6-1=-x[/tex]. - A sétima caixa foi marcada assim
[tex]\quad \fcolorbox{black}{#FFD700}{$1$}\quad \boxed{x} \quad \boxed {x-1} \quad \boxed{-1} \quad \boxed {-x} \quad \boxed{-x+1} \quad \fcolorbox{black}{#FFD700}{$t_7=1$} [/tex],
já que [tex]t_7-x=-x+1 [/tex].
Perceba, então, que a sétima caixa necessariamente tem numeração repetida; mas, dependendo do [tex]x[/tex], existem outras situações nas quais a numeração repetida ocorre antes. Vejamos:
- Se [tex]x=1 [/tex], já a segunda caixa terá numeração repetida.
[tex]\quad \fcolorbox{black}{#FFD700}{$1$}\quad \, \fcolorbox{black}{#FFD700}{$1$} \quad \boxed{0}[/tex] - Se [tex]x=2 [/tex], a terceira caixa terá numeração repetida.
[tex]\quad \fcolorbox{black}{#FFD700}{$1$}\quad \boxed{2} \quad \, \fcolorbox{black}{#FFD700}{$1$}[/tex] - Se [tex]x=-1 [/tex], a quarta caixa terá numeração repetida.
[tex]\quad \boxed{1}\quad \, \fcolorbox{black}{#ffa888}{$-1$} \quad \boxed{-2}\quad \, \fcolorbox{black}{#ffa888}{$-1$}[/tex] - Se [tex]x=0 [/tex], a quarta caixa terá numeração repetida.
[tex]\quad \boxed{1}\quad \boxed{0}\quad \, \fcolorbox{black}{#a4c9a4}{$-1$} \quad \, \fcolorbox{black}{#a4c9a4}{$-1$}[/tex]
Portanto, excluindo os casos isolados [tex]x=1 [/tex], [tex]x=2 [/tex], [tex]x=-1 [/tex] e [tex]x=0 [/tex], concluímos que, para quaisquer outros valores de [tex]x[/tex], a sétima caixa terá numeração repetida pela primeira vez e, assim, Fernanda conseguiu marcar seis caixas sem repetir nenhum número já utilizado.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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