.Problema para ajudar na escola: Uma operação estranha…

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)

$\qquad \qquad \quad \boxed{ \, x \triangle y= x^2+y \, } \, .$

(a) Determine $5 \triangle 1$.

(b) Existe um número real $a$ tal que $a \triangle b=b$, para todo número real $b$?

(c) Se $r_1 \,$ e $\, r_2$ são as raízes da equação $\boxed{(2x)\triangle 1+1\triangle (2x)=x\triangle 2}$, determine o valor de $r_1+r_2$.

Solução

(b) Sejam $a$ e $b$ números reais.
Note que
$\qquad \qquad \quad \quad a \triangle b=b \Leftrightarrow a^2+b=b \Leftrightarrow a^2=0 \Leftrightarrow a=0 \, .$

Assim, se $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a=0$} \,$, então $a \triangle b=b$ para todo número real $b \, .$

(c) Sejam $r_1 \,$ e $\, r_2$ raízes da equação $(2x)\triangle 1+1\triangle (2x)=x\triangle 2 \, .$
Como
$\quad \begin{align*}\boxed{(2x)\triangle 1+1\triangle (2x)=x\triangle 2} &\Leftrightarrow \left(\left(2x\right)^2+1\right)+ \left(1^2+2x\right)=x^2+2 \Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow \boxed{3x^2+2x=0} \, , \end{align*}$
então $r_1 \,$ e $\, r_2$ são raízes da equação $3x^2+2x=0 \, .$
Mas sabemos que
$\qquad \qquad \quad\boxed{3x^2+2x=0} \Leftrightarrow x\cdot(3x+2)=0 \Leftrightarrow x=0 \text{ ou } x=-\frac{2}{3} \,$;
portanto, as raízes da equação $\boxed{3x^2+2x=0}$ são $\boxed{ 0 \text{ e } -\frac{2}{3}} \,$, que são também as raízes da equação $\boxed{(2x)\triangle 1+1\triangle (2x)=x\triangle 2} \, .$
Dessa forma, $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$r_1+r_2=0-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{2}{3}$}$.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.