.Problema para ajudar na escola: Um sistema complicadinho…

Problema
(A partir da 1ª série do E. M.- Nível de dificuldade: Difícil)

$\qquad \qquad \begin{cases} x^4-13x^2+36 \lt 0\\ \,\\ \dfrac{3x-12}{x+2}\leqslant 1 \end{cases}\;$

Solução

(I) Observe, inicialmente, a seguinte sequência de desigualdades equivalentes:
$\qquad \begin{align*}\boxed{\dfrac{3x-12}{x+2}\leqslant 1} &\iff \dfrac{3x-12}{x+2}-1\leqslant 0\iff\\ & \iff \dfrac{(3x-12)-(x+2)}{x+2}\leqslant 0 \iff\\ & \iff\dfrac{3x-12-x-2}{x+2}\leqslant 0 \iff \\ &\iff \boxed{\dfrac{2x-14}{x+2}\leqslant 0}\,. \end{align*}$
Assim, podemos determinar a solução da inequação $\boxed{\dfrac{3x-12}{x+2}\leqslant 1}$ fazendo o estudo de variação de sinal da expressão $\boxed{\dfrac{2x-14}{x+2}}$ e determinando para quais valores reais de $x$ essa expressão é não positiva (negativa ou zero). Para isso, vamos estudar a variação de sinal do numerador e do denominador da fração.
• Em um plano cartesiano $xOy$ as equações $y=x+2\,$ e $\,y=2x-14$ definem duas retas oblíquas, a primeira cortando o eixo $Ox$ em $x=-2$ e a segunda em $x=7.$
  Veja um esboço do gráfico das duas retas:

  

  e o estudo da variação de sinal do quociente $\dfrac{2x-14}{x+2}$:

  

O estudo da variação de sinal do quociente poderia também ser feito observando que:
$\qquad \begin{cases} 2x-14 \gt 0 \iff 2x \gt 14 \iff x \gt 7; \\ 2x-14 = 0 \iff 2x = 14 \iff x = 7; \\ 2x-14 \lt 0 \iff 2x \lt 14 \iff x \lt 7. \end{cases}$
e
$\qquad \begin{cases} x+2 \gt 0 \iff x \gt -2; \\ x+2 = 0 \iff x = -2; \\ x+2 \lt 0 \iff x \lt -2. \end{cases}$

De toda forma,
$\qquad \textcolor{#0c66ff}{\dfrac{2x-14}{x+2}\leqslant 0 \iff -2 \lt x \leqslant 7}$
e, portanto, a solução da inequação $\dfrac{3x-12}{x+2}\leqslant 1$ é o intervalo $\fcolorbox{black}{#b8cae9}{$S_1=]-2,7]$}\,.$
(II) Para determinarmos a solução da desigualdade $x^4-13x^2+36 \lt 0$ teremos um pouquinho mais de trabalho!
Inicialmente, faremos uma mudança de variável: $x^2=t$. Com isso, a desigualdade $x^4-13x^2+36 \lt 0$ passará a ser escrita como $t^2-13t+36 \lt 0$ e faremos, então, o estudo de variação de sinal da expressão $t^2-13t+36$ para determinarmos quais os valores reais de $t$ que tornam essa expressão negativa. Vamos lá!

• Analisaremos o sinal da função $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(t)=t^2-13t+36$. Lembramos que analisar o sinal de uma função significa determinar quais valores do seu domínio têm imagens iguais a zero, quais têm imagens positivas e quais têm imagens negativas. No nosso caso, queremos determinar os valores de $t$ que têm imagens negativas.
  Em um plano cartesiano $tOy$ o gráfico de $f$ define uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo $Oy$ e concavidade voltada para cima. Para traçar um esboço dessa parábola e analisar a variação de sinal de $f$, vamos precisar das raízes da equação de segundo grau $t^2-13t+36=0$. São elas:

$\qquad t=\dfrac{-(-13)\pm\sqrt{(-13)^2-4\cdot 1\cdot 36 }}{2 \cdot 1}\\ \qquad t=\dfrac{13\pm\sqrt{169-144}}{2}\\ \qquad t=\dfrac{13\pm\sqrt{25}}{2} \\ \qquad t_1=\dfrac{13-5}{2}=4 \qquad \text{e}\qquad t_2=\dfrac{13+5}{2}=9\,.$

Veja um esboço do gráfico de $f$:



e sua variação de sinal:



Logo, $\textcolor{red}{t^2-13t+36 \lt 0 \iff 4 \lt t \lt 9}$.

Voltando à variável inicial $x$, temos que $x^4-13x^2+36 \lt 0 \iff 4 \lt x^2 \lt 9$. Com isso, precisamos determinar para quais valores reais de $x$ temos $4 \lt x^2 \lt 9$.
Observe que $4 \lt x^2 \lt 9$ é equivalente a duas desigualdades simultâneas: $4 \lt x^2\,$ e $\, x^2 \lt 9$. Assim, para obter a solução da segunda desigualdade que compõe o sistema inicial definido no problema, vamos resolver essas duas novas inequações e fazer a interseção de suas soluções.
Para isso, vamos fazer o estudo da variação de sinal das funções $g,h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ definidas por $g(x)=x^2-4\,$ e $\, h(x)=x^2-9$, uma vez que $\boxed{4 \lt x^2 \iff 0 \lt x^2-4}\,$ e $\, \boxed{x^2 \lt 9 \iff x^2-9 \lt 0}\,.$

• Os gráficos das funções $g,h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ em um plano cartesiano $xOy$ são parábolas com seus respectivos eixos de simetria paralelos ao eixo $Oy$ e concavidades voltadas para cima.

Para um esboço dessas parábolas vamos determinar as raízes das equações do segundo grau $x^2-4=0\,$ e $\, x^2-9=0$:
$\begin{array}{l|l} \quad \quad x^2-4=0 \quad & \quad x^2-9=0\\ \quad \quad x^2=4 \quad & \quad x^2 =9\\ \quad \quad x_1=2 \qquad \text{e}\qquad x_2=-2\,. \quad & \quad x_3=3 \qquad \text{e}\qquad x_4=-3\,.\\ \end{array}$
A partir dessas raízes, obtemos um esboço dos gráficos de $g\,$ e $\,h\,:$


e as duas variações de sinais de que precisamos:



A pergunta cuja resposta fornecerá a solução $S_2$ da desigualdade $x^4-13x^2+36 \lt 0$ é: para que valores reais de $x$ temos $\boxed{0 \lt x^2-4}\,$ e $\, \boxed{x^2-9 \lt 0}$ ?
Vamos olhar as duas últimas variações de sinal juntas para responder a essa pergunta e determinarmos $S_2$:



portanto, $\fcolorbox{black}{#d2ffe6}{$S_2=]-3,-2[ \cup ]2,3[$}$.

Finalmente, por (I) e por (II), a solução $S$ do sistema de inequações proposto no problema já pode ser calculada:
$\qquad S=\textcolor{#0c66ff}{S_1} \cap\textcolor{#00B050}{S_2}$
$\qquad S=\textcolor{#0c66ff}{]-2,7]} \cap \left(\textcolor{#00B050}{]-3,-2[ \cup ]2,3[}\right)$
$\qquad S=]2,3[\,.$

Portanto, a solução do sistema de desigualdades proposto é $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$S=]2,3[=\{x \in \mathbb{R} \text{ tais que } 2 \lt x \lt 3\}$}\,.$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.