Link do problema para dispositivos da Apple.
Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Fácil)
(Junior Mathematical Olympiad 2010) Um número de oito dígitos M=aaaabbbb é múltiplo de 45.
Quais os possíveis valores para o algarismo a?
Ajuda
Divisibilidade por 45: Um número natural n é divisível por 45 se, e somente se, n for divisível simultaneamente por 5 e 9.
Observação importante
Cuidado com uma possível generalização desse critério: observe que 36 é divisível simultaneamente por 4 e 6, mas 36 não é divisível por 24=4⋅6.
Isso acontece porque o máximo divisor comum entre 4 e 6 é diferente de 1.
Uma generalização correta seria a seguinte:
- Sejam a e b números naturais tais que mdc(a,b)=1.
Um número natural n é divisível por a⋅b se, e somente se, n for divisível simultaneamente por a e b.
Solução
Pelo critério de divisibilidade apresentado na Ajuda, o número natural M é múltiplo de 45 se, e somente se, M for múltiplo simultaneamente de 5 e 9. Vamos então analisar essas duas hipóteses separadamente.
- Como M é múltiplo de 5, então o último algarismo de M é 0 ou 5. Com isso,
- b=0 ou b=5.(i)
- Como M é múltiplo de 9, então a soma dos dígitos de M deve ser um múltiplo de 9, ou seja, a+a+a+a+b+b+b+b=4(a+b) é divisível por 9.
Como 4 não tem fator comum com 9, então, para que 4(a+b) seja divisível por 9, é necessário que a+b seja divisível por 9.
Mas a e b são algarismos e a≠0 (Lembre-se de que a é o primeiro algarismo de um número com oito dígitos.), então 0<a+b⩽ Dessa forma, para que a+b seja divisível por 9 temos duas possibilidades: - a+b=9 \, ou \, a+b=18.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}
Dessa maneira, analisando simultaneamente \textcolor{#800000}{(i)} e \textcolor{#800000}{(ii)}, temos que:
- Se b=0, então a=9 \, ou a=18. No entanto, a é um algarismo; consequentemente, a não pode ser 18.
- Se b=5, então a=4 \, ou a=13. Observe que a é um algarismo; logo, a também não pode ser 13.
Pelo exposto, vemos que existem apenas dois valores possíveis para a: \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a=9$} \, ou \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a=4$} \, .
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
|
Se for conveniente, você pode obter um arquivo PDF desta página, com o problema e a solução, clicando no botão abaixo. |