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.Problema para ajudar na escola: Último dígito

Problema
(A partir do 9º ano do E. F.- Nível de dificuldade: Médio)


Determine o algarismo das unidades da soma 32020+42020.

Adaptado do 6º Campeonato de Matemática de la Universidad de La Frontera, 2013.

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Ajuda

Algoritmo de Euclides ou Divisão Euclidiana

Sejam a e b números naturais, com b0.

ab
rq
Ao dividirmos a por b encontraremos um quociente q e um resto r, naturais e únicos, tais que:
(1)0r<b(2)a=bq+r.

Solução


Vamos analisar separadamente os algarismos das unidades das potências 32020 e 42020.
Observe que:

  • 31=3; assim, o algarismo das unidades de 31 é 3.
  • 32=9; assim, o algarismo das unidades de 32 é 9.
  • 33=27; assim, o algarismo das unidades de 33 é 7.
  • 34=81; assim, o algarismo das unidades de 34 é 1.
  • 35=243; assim, o algarismo das unidades de 35 é 3.
  • 36=729; assim, o algarismo das unidades de 36 é 9.

Note que os algarismos das unidades das potências de 3 são "3,9,7 ou 1" e se repetem ciclicamente, nessa ordem, de quatro em quatro. Assim, conseguimos estabelecer o seguinte padrão:

algarismo das unidadesexpoenteforma geral do expoente3n=1,1+4=5,5+4=9,n=4k+1,kN9n=2,2+4=6,6+4=10,n=4k+2,kN7n=3,3+4=7,7+4=11,n=4k+3,kN1n=4,4+4=8,8+4=12,n=4k,kN

Agora, com relação às potências de 4, observe que:

  • 41=4; assim, o algarismo das unidades de 41 é 4.
  • 42=16; assim, o algarismo das unidades de 42 é 6.
  • 43=64; assim, o algarismo das unidades de 43 é 4.
  • 44=256; assim, o algarismo das unidades de 44 é 6.

Note que os algarismos das unidades das potências de 4 são "4 ou 6" e se repetem ciclicamente de dois em dois; com isso, conseguimos estabelecer o seguinte padrão:

algarismo das unidadesexpoenteforma geral do expoente4n=1,1+2=3,3+2=5,n ímpar6n=2,2+2=4,4+2=6,n par

20204
0505
A divisão de 2020 por 4, nos indica que 2020 é múltiplo de 4, ou seja, da forma 2020=4505.
Assim, o algarismo das unidades da potência 32020 é 1.

Por outro lado, 2020 é um número par; logo, o algarismo das unidades da potência 42020 é 6.
Dessa forma, podemos esquematizar a soma 32020+42020 da seguinte forma:
1+67
e, portanto, o algarismo das unidades da soma 32020+42020 é 7.


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