Problema
(A partir do 9º ano do E. F.- Nível de dificuldade: Médio)
Determine o algarismo das unidades da soma 32020+42020.
Adaptado do 6º Campeonato de Matemática de la Universidad de La Frontera, 2013.
Ajuda
Algoritmo de Euclides ou Divisão Euclidiana
Sejam a e b números naturais, com b≠0.
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ab rq |
Ao dividirmos a por b encontraremos um quociente q e um resto r, naturais e únicos, tais que: (1)0≤r<b(2)a=b⋅q+r. |
Solução
Vamos analisar separadamente os algarismos das unidades das potências 32020 e 42020.
Observe que:
- 31=3; assim, o algarismo das unidades de 31 é 3.
- 32=9; assim, o algarismo das unidades de 32 é 9.
- 33=27; assim, o algarismo das unidades de 33 é 7.
- 34=81; assim, o algarismo das unidades de 34 é 1.
- 35=243; assim, o algarismo das unidades de 35 é 3.
- 36=729; assim, o algarismo das unidades de 36 é 9.
Note que os algarismos das unidades das potências de 3 são "3,9,7 ou 1" e se repetem ciclicamente, nessa ordem, de quatro em quatro. Assim, conseguimos estabelecer o seguinte padrão:
algarismo das unidadesexpoenteforma geral do expoente3n=1,1+4=5,5+4=9,⋯n=4k+1,k∈N9n=2,2+4=6,6+4=10,⋯n=4k+2,k∈N7n=3,3+4=7,7+4=11,⋯n=4k+3,k∈N1n=4,4+4=8,8+4=12,⋯n=4k,k∈N∗
Agora, com relação às potências de 4, observe que:
- 41=4; assim, o algarismo das unidades de 41 é 4.
- 42=16; assim, o algarismo das unidades de 42 é 6.
- 43=64; assim, o algarismo das unidades de 43 é 4.
- 44=256; assim, o algarismo das unidades de 44 é 6.
Note que os algarismos das unidades das potências de 4 são "4 ou 6" e se repetem ciclicamente de dois em dois; com isso, conseguimos estabelecer o seguinte padrão:
algarismo das unidadesexpoenteforma geral do expoente4n=1,1+2=3,3+2=5,⋯n ímpar6n=2,2+2=4,4+2=6,⋯n par
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20204 0505 |
A divisão de 2020 por 4, nos indica que 2020 é múltiplo de 4, ou seja, da forma 2020=4⋅505. Assim, o algarismo das unidades da potência 32020 é 1. |
Por outro lado, 2020 é um número par; logo, o algarismo das unidades da potência 42020 é 6.
Dessa forma, podemos esquematizar a soma 32020+42020 da seguinte forma:
⋯1+⋯6⋯7
e, portanto, o algarismo das unidades da soma 32020+42020 é 7.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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