.Problema para ajudar na escola: Soma, produto e quociente

Problema
(A partir da 2ª série do E. M.- Nível de dificuldade: Médio)

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Existem dois números reais cuja soma, o produto e o quociente sejam iguais entre si?

Solução 1

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Sejam $x\,$ e $\, y$ números reais, com $y\ne 0$, tais que $\boxed{x+y=x\cdot y=\frac{x}{y}}\,.$
Assim, particularmente, temos o seguinte sistema:
$\qquad \qquad \begin{cases} x+y=x\cdot y\\ x+y=\frac{x}{y} \end{cases}\,.$
De $x+y=\frac{x}{y}$ segue que:
$\quad xy+y^2=x\\ \quad x-xy=y^2\\ \quad x(1-y)=y^2\\ \quad x=\dfrac{y^2}{1-y} \text{, para }y\ne 1.$
Antes de prosseguir, perceba que $y=1$ não satisfaz as condições do problema. De fato, se $y=1$, das equações do sistema obteríamos $x+1=x$; mas sabemos que $x+1\ne x$ para qualquer $x$ real (caso contrário, concluiríamos que $1=0$, não é?).
Substituindo $x=\dfrac{y^2}{1-y}$ em $x+y=x\cdot y$, segue que
$\quad \dfrac{y^2}{1-y}+y=\dfrac{y^2}{1-y}\cdot y\\ \quad \cancel{y}\cdot\left( \dfrac{y}{1-y}+1\right)=\dfrac{y^2}{1-y}\cdot \cancel{y}\text{, observe que } y \ne 0\\ \quad \dfrac{y}{1-y}+1=\dfrac{y^2}{1-y}\\ \quad y+\left(1-y\right)=y^2\\ \quad y^2=1\\ \quad y=1 \text{ ou } y=-1.$
Já sabemos que $y=1$ não satisfaz as condições do problema; assim, $y=-1$ e de $x+y=x\cdot y$ segue que:
$\quad x-1=x\cdot -1\\ \quad x-1=-x\\ \quad 2x=1\\ \quad x=\dfrac{1}{2}.$
Observe que os valores $x=\frac{1}{2}\,$ e $\,y=-1$ satisfazem, de fato, $\boxed{x+y=x\cdot y=\frac{x}{y}}$:
$\qquad \boxed{\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}}\,;\, \boxed{\dfrac{1}{2}\cdot \left(-1\right)=-\dfrac{1}{2}}\,;\,\boxed{\dfrac{\frac{1}{2}}{-1\,}=-\dfrac{1}{2}}$;
portanto, $\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=\dfrac{1}{2}$}\,$ e $\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$y=-1$}\,$ são os únicos números reais cuja soma, o produto e o quociente são iguais entre si.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

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Sejam $x\,$ e $\, y$ números reais, com $y\ne 0$, tais que $\boxed{x+y=x\cdot y=\frac{x}{y}}\,.$
A igualdade $x\cdot y=\frac{x}{y}$ nos permite concluir que, para $x\ne 0$, $y^2=1$, donde obtemos dois possíveis valores para $y$: $y=1$ e $y=-1\,.$
Antes de prosseguirmos na análise desse valores obtidos, observe que substituindo $x= 0$ na igualdade $x+y=x\cdot y$ obtemos que $y=0$, o que não é possível devido à restrição do problema de que $y\ne 0$.

• Note que, substituindo $y=1$ na igualdade $x+y=x\cdot y$, obtemos que $x+1=x$, o que também não é possível, pois $x+1\ne x$ para todo $x$ real (caso contrário teríamos $1=0$).
• Agora, substituindo $y=-1$ na igualdade $x+y=x\cdot y$, obtemos a igualdade $x-1=-x$, donde concluímos que $x=\frac{1}{2}\,.$

Observe que os valores $x=\frac{1}{2}\,$ e $\,y=-1$ satisfazem, de fato, $\boxed{x+y=x\cdot y=\frac{x}{y}}$:
$\qquad \boxed{\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}}\,;\, \boxed{\dfrac{1}{2}\cdot \left(-1\right)=-\dfrac{1}{2}}\,;\,\boxed{\dfrac{\frac{1}{2}}{-1\,}=-\dfrac{1}{2}}$,
Logo, $\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=\dfrac{1}{2}$}\,$ e $\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$y=-1$}\,$ são os únicos números reais que satisfazem as condições do problema.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.