.Problema para ajudar na escola: Qual o resto?

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Problema
(A partir do 6º ano do E. F.) (Nível: Médio)

Qual o valor do resto da divisão de

$2^{150}$ por

$7$ ?

Dica

A observação e generalização de padrões e regularidades pode ser um bom caminho para se resolver problemas de matemática que envolvam sequências numéricas…

Solução

Vamos observar os restos das divisões dos primeiros termos da sequência

$\left\{2^{0}, \, 2^{1}, \, 2^{2},\cdots, \, 2^{n},\cdots \, \right\}$ por

$7:$

$2^0:$	$1$	$7$
$2^0:$	$\color{red}1$	$0$

$2^1:$	$2$	$7$
$2^1:$	$\color{blue}2$	$0$

$2^2:$	$4$	$7$
$2^2:$	$\color{green}4$	$0$

$2^3:$	$8$	$7$
$2^3:$	$\color{red}1$	$1$

$2^4:$	$16$	$7$
$2^4:$	$\color{blue}2$	$2$

$2^5:$	$32$	$7$
$2^5:$	$\color{green}4$	$4$

$2^6:$	$64$	$7$
$2^6:$	$\color{red}1$	$9$

$2^7:$	$128$	$7$
$2^7:$	$\color{blue}2$	$18$

$2^8:$	$256$	$7$
$2^8:$	$\color{green}4$	$36$

Observe que a cada três potências de $2$ os restos se repetem:

para $2^0$ tivemos resto $\color{red}1 \,$ ;
para $2^1$ tivemos resto $\color{blue}2 \,$ ;
para $2^2$ tivemos resto $\color{green}4 \,$ ;
para $2^3$ tivemos resto $\color{red}1 \,$ ;
para $2^4$ tivemos resto $\color{blue}2 \,$ ;
para $2^5$ tivemos resto $\color{green}4 \,$ ;
para $2^6$ tivemos resto $\color{red}1 \,$ ;
para $2^7$ tivemos resto $\color{blue}2 \,$ ;
para $2^8$ tivemos resto $\color{green}4 \,$ ;

e esse padrão é mantido nas divisões de outras potências de $2$ por $7$ . (Você saberia justificar essa afirmação?)

O padrão observado nos indica que:

"as potências com expoentes múltiplos de $3$ " apresentam resto $\color{red}1 \,$ , quando divididas por $7; \,$
"as potências com expoentes múltiplos de $3$ mais $1$ " apresentam resto $\color{blue}2 \,$ , quando divididas por $7; \,$
"as potências com expoentes múltiplos de $3$ mais $2$ " apresentam resto $\color{green}4 \,$ , quando divididas por $7; \,$

assim, para sabermos o resto da divisão de $2^{150}$ por $7$ , basta observarmos que $150$ é múltiplo de $3$ , portanto, o resto da divisão de $2^{150}$ por $7$ é $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1$} \, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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