.Problema para ajudar na escola: Qual é a fração?

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)

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Ao adicionarmos ao numerador e ao denominador de uma fração, escrita na forma irredutível, a quarta parte do denominador, o valor dessa fração aumenta em sua sétima parte.
Que fração é essa?

Solução

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Seja $\dfrac{a}{b}$ a forma irredutível da fração em questão.
De acordo com os dados do problema, temos que $\boxed{\dfrac{a+\frac{b}{4}}{b+\frac{b}{4}}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{1}{7}\left(\dfrac{a}{b}\right)}.$ Assim, segue que:
$\qquad \dfrac{a+\frac{b}{4}}{b+\frac{b}{4}}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{1}{7}\left(\dfrac{a}{b}\right)$
$\qquad \dfrac{\frac{4a+b}{4}}{\frac{5b}{4}}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{7b}$
$\qquad \dfrac{\frac{4a+b}{\cancel{4}}}{\frac{5b}{\cancel{4}}}=\dfrac{8a}{7b}$
$\qquad \dfrac{4a+b}{5b}=\dfrac{8a}{7b}$
$\qquad \dfrac{4a+b}{5\cancel{b}}=\dfrac{8a}{7\cancel{b}}$
$\qquad 7\left(4a+b\right)=40a$
$\qquad 28a+7b=40a$
$\qquad 12a=7b$
$\qquad \dfrac{a}{b}=\dfrac{7}{12}.$
Como $mdc(7,12)=1$, a forma irredutível da fração que atende às condições do problema é $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{7}{12}$}\, .$

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.