.Problema para ajudar na escola: Números consecutivos

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)

Quantos números naturais menores do que $2018$ satisfazem simultaneamente às propriedades abaixo?
(1) São soma de dois números naturais não nulos consecutivos.
(2) São soma de cinco números naturais não nulos consecutivos.

Solução

• Se $x$ é um número natural que satisfaz à propriedade (1), então existe um número natural não nulo $n$ tal que
  $\qquad x=n+(n+1)=2n+1 \, .$
  Assim, $\boxed{x=2n+1} \,$, para $n$ um número natural tal que $n \geqslant 1 \, .$
  $\textcolor{#800000}{\rhd}$ Com isso, temos que $x$ é um número ímpar tal que $x\geqslant 3 \, .\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}$
• Se $x$ é um número natural que satisfaz à propriedade (2), então existe um número natural não nulo $m$ tal que
  $\qquad x=m+(m+1)+(m+2)+(m+3)+(m+4)=5m+10=5(m+2) \, .$
  Logo, $\boxed{x=5k} \,$, para $k$ um número natural tal que $k \geqslant 3 \, .$
  $\textcolor{#800000}{\rhd}$ Com isso, temos que $x$ é um múltiplo de $5$ tal que $x\geqslant 15 \, .\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}$

Dessa forma, se um número natural $x$ satisfaz simultaneamente às propriedades (1) e (2), por $\textcolor{#800000}{(i)} \,$ e $\, \textcolor{#800000}{(ii)} \,$, temos que $x$ é um múltiplo ímpar de $5$ maior do que ou igual a $15 \,$. Portanto, segue que:

$\boxed{x=5(2t+1)} \,$, com $t \,$ um número natural tal que $t\geqslant 1 \, .\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}$

(II) Verificaremos agora que todo número natural $x$ da forma estipulada em $\textcolor{#800000}{(iii)}$ satisfaz às propriedades (1) e (2).
Com efeito, se $x=5(2t+1)$ é um número natural, observe que:

• $x=\dfrac{x-1}{2}+\left(\dfrac{x-1}{2}+1\right)$

e as parcelas da soma são números naturais não nulos consecutivos, pois $x$ é ímpar.

• $x=\left(\dfrac{x}{5}-2\right) +\left(\dfrac{x}{5}-1\right) +\dfrac{x}{5}+\left(\dfrac{x}{5}+1\right)+\left(\dfrac{x}{5}+2\right)$

e as parcelas da soma são números naturais não nulos consecutivos, pois $x$ é ímpar.

Seja, então, $x$ um número natural menor do que $2018$ e que satisfaz simultaneamente às propriedades (1) e (2). Assim, por $\textcolor{#800000}{(iii)} \,$, existe um número natural $t\geqslant 1 \,$ tal que $x=5(2t+1)\lt 2018$, logo, segue que:
$\qquad 5(2t+1)\lt 2018$
$\qquad 10t+5 \lt 2018$
$\qquad 10t \lt 2013$
$\qquad t \lt 201,3 \, .$
Mas, $t$ é um número natural não nulo, logo $\boxed{1 \leqslant t \leqslant 201} \, .$
Como cada valor de $t$ define um número $x$ que satisfaz às condições do problema, consequentemente, existem $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$201$} \,$ números naturais menores do que $2018$ que satisfazem simultaneamente às propriedades (1) e (2).

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.