.Problema para ajudar na escola: Lados em progressão

Problema
(A partir do 1º ano do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)

(OME – Olimpiada Matemática Española, 2001) Os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo estão em progressão geométrica.
Determinar a razão $r$ dessa progressão.

Solução

• Observe, inicialmente, que a razão $r$ de uma progressão pode ser $1$, maior do que $1$ ou menor do que $1$. Na nossa solução vamos supor $r\gt 1$, pois:
• se considerássemos $r=1$, as três medidas seriam iguais e isso não seria possível, visto que o Teorema de Pitágoras nos assegura que, em um triângulo retângulo, a hipotenusa é maior do que os dois catetos.
• se considerássemos $0 \lt r \lt 1$, obteríamos as mesmas medidas dos lados, só que em ordem inversa.
• Observe também que o lado com a menor medida é um dos dois catetos do triângulo; pois, em um triângulo retângulo, a hipotenusa é maior do que os dois catetos.

Seja $l$ unidades de comprimento a medida do menor lado do triângulo retângulo em questão. Logo, as medidas dos outros lados serão $l\,r\;$ e $\;l\,r^2$ unidades de comprimento.
Pelo Teorema de Pitágoras, segue que:
$\qquad l^2+\left(lr\right)^2=\left(lr^2\right)^2$
$\qquad \cancel{l^2}+\cancel{l^2}\,r^2=\cancel{l^2}\,r^4$
$\qquad 1+r^2=r^4$
$\qquad r^4-r^2-1=0\,.\qquad \qquad \textcolor{#80000}{(i)}$
Precisamos, então, resolver a equação biquadrada $\textcolor{#80000}{(i)}$ e para isso vamos fazer uma mudança de variável: $x=r^2\,.$
Observe:
$\qquad r^4-r^2-1=0\ $
$\qquad x^2-x-1=0$
$\qquad x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-1)}}{2\cdot 1}$
$\qquad x=\dfrac{1\pm \sqrt{1+4}}{2}=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}$
$\qquad x_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\quad$ e $\quad x_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}.$
Agora, precisamos obter o valor de $r$ e para tanto vamos utilizar a igualdade $x=r^2\,.$ Mas perceba que $r^2 \gt 1$ e $x_2 \lt 0$; assim descartaremos essa solução. Dessa forma ficamos, apenas, com $x_1=r^2\,$, donde segue que:
$\qquad \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=r^2$
$\qquad \sqrt{r^2}=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}\\ \,$
$\qquad\left|\,r \,\right|=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}\\ \,$
$\qquad\ r=\pm \sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}\,$.
Para finalizar, observe que $r\gt 0$, assim descartamos o valor $r=- \sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}$ e, portanto, a razão da progressão que satisfaz o problema é $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\, r= \sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}\,$}\,.$
Observação: Particularmente, observe que $r=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}\approx 1,27$; logo, $r \gt 1\,.$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.