.Problema para ajudar na escola: Irracionais

Problema
(A partir do 9º ano do E. F.) (Nível: Médio)

Sem utilizar uma calculadora para extrair a raiz quadrada indicada, diga quais destes números são irracionais:

• $\sqrt{19\,600}$ ;
• $\sqrt{56\,628}$ ;
• $\sqrt{511\,225}$.

Solução

• Observe que $19600=196 \times 100= 14^2 \times 10^2=\left(14\times 10\right)^2. \,$
  Como $19600=\left(140\right)^2 \,$, $\sqrt{19600}=140 \,$ e, na verdade, $\sqrt{19600}\in \mathbb{N}$.
• Observe a decomposição de $56628$ como produto de fatores primos:
  $\begin{array}{r|l} 56628& 2\\ 28314& 2\\ 14157& 3\\ 4719& 3 \\ 1573 & 11 \\ 143& 11\\ 13& 13\\ 1&\end{array}$
  Assim, $56628=\left(2\times 3 \times 11\right)^2 \times 13 \,$; como $56628$ não é um quadrado perfeito, então $\sqrt{56628}$ é irracional.
• Observe, também, que
  $\begin{array}{r|l} 511225& 5\\ 102245& 5\\ 20449& 11\\ 1859& 11 \\ 169& 13\\ 13& 13\\ 1&\end{array}$
  Logo, $511225=\left(5\times 11 \times 13\right)^2 =\left(715\right)^2 \,$.
  Assim, $\sqrt{511225}=715 \,$, que é também um número natural.

Pelo exposto, dentre os três números apresentados no problema, apenas $\sqrt{56\,628}$ é irracional.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.