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Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)
Seja f:N→Z a função definida por f (n) = n^4-2n^2-24.
Entre os valores assumidos por f, existe algum número primo?
Lembretes
(i) Diferença de dois quadrados:
\qquad \qquad \boxed{m^2-n^2=(m+n) \cdot (m-n)}, \forall \, m,n\in\mathbb{R}
(ii) Quadrado da diferença:
\qquad \qquad \boxed{\left(m-n\right)^2=m^2-2\cdot m \cdot n+n^2}, \forall \, m,n\in\mathbb{R}
Solução
Seja n um número natural e considere a imagem f(n)=n^4-2n^2-24. Note que:
\qquad \begin{align*}
f(n)&=n^4-2n^2-24\\
&=n^4-2n^2+1-25\\
&=\left(n^4-2n^2+1\right)-25\\
&=\left(n^2-1\right)^2-5^2\\
&=\left[\left(n^2-1\right)+5\right]\cdot \left[\left(n^2-1\right)-5\right]\\
&=\left(n^2+4\right)\cdot \left(n^2-6\right);
\end{align*}
com isso, para que f(n) seja um número primo, devemos ter n^2+4=\pm 1 ou n^2-6=\pm 1.
Analisemos, então, os quatro casos.
- Se n^2+4=1, teríamos n^2=-3, o que não é possível visto que n^2 \geqslant 0.
- Se n^2+4=-1, teríamos n^2=-5, o que também não é possível já que n^2 \geqslant 0.
- Se n^2-6=1, teríamos n^2=7, o que não é possível, pois, mesmo tendo n^2=7 \gt 0, 7 não é um quadrado perfeito.
- Se n^2-6=-1, teríamos n^2=5, o que não é possível, porque, mesmo tendo n^2=5 \gt 0, 5 também não é um quadrado perfeito.
Portanto, podemos concluir que não existem números primos entre os valores assumidos por f.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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