.Problema para ajudar na escola: Duplo três dígitos

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Problema
(A partir do 6º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)

(UK Junior Mathematical Olympiad, 2012) Um número natural é dito duplo três dígitos se ele tem três dígitos e o produto de seus dígitos é também um número de três dígitos.
Por exemplo,

$\boxed{679}$ é um número duplo três dígitos, pois ele tem três dígitos e o produto $6\times 7\times 9=\boxed{378}$ também tem três dígitos.
$\boxed{238}$ não é um número duplo três dígitos; pois, embora ele tenha três dígitos, o produto $2\times 3\times 8=\boxed{48}$ tem apenas dois dígitos.

Qual é o menor número duplo três dígitos ?

Solução

Vamos supor que $M$ seja o menor número duplo três dígitos; assim, $M$ é da forma $M=abc$ , com $a,\,b,\,$ e $\,c$ dígitos tais que o produto $a\cdot b \cdot c$ tem três algarismos.

A primeira observação a ser feita é de que os algarismos $a,\,b,\,$ e $\,c$ são não nulos. Perceba que se um desses algarismos fosse igual a zero, o produto $a\cdot b \cdot c$ seria nulo e não teria, portanto, três algarismos.

Agora, note que $a \ne 1$ ; pois, caso contrário, o maior valor que o produto $a\cdot b \cdot c$ assumiria seria $1\cdot 9 \cdot 9=81$ e $81$ não tem três dígitos como deveria ter.
Dessa forma, $a$ é pelo menos $2$ e, como estamos procurando o menor valor de $M$ , então $M$ é da forma $2bc\,.$

Vamos analisar $b$ . Note que $b$ é no mínimo $6$ ; pois, caso contrário, o maior valor que o produto $a\cdot b \cdot c$ assumiria seria $2\cdot 5 \cdot 9=90$ e $90$ também não tem três dígitos como o problema exige.
Com isso, como estamos procurando o menor valor de $M$ , então $M$ é da forma $26c\,.$

Ao analisar os números da forma $26c$ , notamos que $c=9$ ; pois, caso contrário, o maior valor que o produto $a\cdot b \cdot c$ assumiria seria $2\cdot 6 \cdot 8=96$ e $96$ não tem três dígitos.

Finalmente, como $2 \cdot 6 \cdot 9=108$ , então $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$M=269$}$ é o menor número duplo três dígitos que existe.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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