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.Problema para ajudar na escola: Distância entre pontos de tangência – um desafio

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Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Difícil)


As circunferências de centro C1 e C2 mostradas na figura têm raios com comprimentos 3cm e 5cm, respectivamente, são tangentes exteriores e as retas tangentes a ambas se intersectam no ponto P.

Observando que os pontos P, C1 e C2 são colineares, calcule a distância entre os pontos de tangência T1 e T2.

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Lembretes

(1) Caso de Semelhança A.A. (ângulo – ângulo): Se dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois ângulos de outro triângulo, então estes triângulos são semelhantes.
(2) Em triângulos semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais.
(Há uma Sala de Ajuda sobre triângulos semelhantes no nosso Blog!)
(3) Uma reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no seu ponto de tangência.
(4) Teorema de Pitágoras: Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.

Solução


Como T1 e T2 são pontos de tangência das circunferências de centro C1 e C2, respectivamente, então os segmentos C1T1 e C2T2 são perpendiculares à reta T1T2.
Dessa forma, os triângulos retângulos ΔPT1C1 e ΔPT2C2 são semelhantes, já que têm um ângulo reto cada e o ângulo C2ˆPT2 é comum aos dois triângulos.
Na nossa discussão denotaremos por A o ponto de interseção da reta PC1 com a circunferência de centro C1 e por x o comprimento do segmento PA.

Como ΔPT1C1 e ΔPT2C2 são triângulos semelhantes, então podemos utilizar o Lembrete 2 e concluir que:
53=x+11x+3
5(x+3)=3(x+11)
5x+15=3x+33
2x=18
x=9 .
Com o valor de x, obtemos as hipotenusas dos triângulos ΔPT1C1 e ΔPT2C2; vamos calcular os respectivos segundos catetos, para poder obter a distância entre os pontos T1 e T2.

Pelo Teorema de Pitágoras, obtemos que:
l21+32=122l21=135l1=±135.
Como l1 é um comprimento, l1>0, logo:
l1=135cm.

Pelo Teorema de Pitágoras, obtemos que:
l22+52=202l22=375l2=±375.
Como l2 é um comprimento, l2>0, logo:
l2=375cm.

Com esses dados estamos prontos para calcular a distância entre os pontos de tangência, a qual denotaremos por d:
d=37513519,3611,62.
(Cuidado, 375135375135.)

Portanto, a distância entre os pontos de tangência T1 e T2 é aproximadamente [tex] \, \fcolorbox{black}


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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