.Problema para ajudar na escola: Caixas com docinhos

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Problema
(A partir do 6º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)

Iracema fez 96 docinhos e quer colocá-los em caixas de forma que cada caixa contenha o mesmo número de doces.
De quantas maneiras Iracema pode fazer a separação, se cada caixa deve ter mais de 5 e menos de 20 docinhos?

Solução

Inicialmente, vamos fazer a decomposição do número $96$ em fatores primos, a partir da qual determinaremos todos os divisores positivos de $96$ .

$\begin{array}{r|l} 96 & 2 \\48 & 2 \\24 & 2 \\12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3\\1 \end{array}$

$\begin{array}{c} \hspace{1.4 cm} \end{array} \begin{array}{l} \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{1} \, \\ \hline \end{array}$
$\begin{array}{r|l} 96 & 2 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{2}\\ 48 & 2 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{4}\\ 24 & 2 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{8}\\ 12 & 2 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{16}\\ 6 & 2 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{32}\\ 3 & 3 & \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{3} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{6} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{12} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{24} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{48} \, \, \, \, \fcolorbox{black}{#C6E2FF}{96}\\ 1 \end{array}$

Agora, observe que os únicos divisores de $96$ que estão entre $5$ e $20$ são $6, \, 8, \, 12 \,$ e $\, 16 \,$ ; portanto, Iracema só poderá fazer a separação de quatro maneiras diferentes.
Para a solução do problema não é necessário o cálculo do número de caixas, mas vamos fazê-lo para você visualizar melhor a solução.

Número de docinhos	Número de caixas	Verificação
$6$	$16$	$6\times 16=96$
$8$	$12$	$8\times 12=96$
$12$	$8$	$12\times 8=96$
$16$	$6$	$16\times 6=96$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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