.Problema: Extensão do degrau

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

(UNIFOR, 2012) A figura abaixo representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a mesma extensão (veja a figura), além de mesma altura. Se

$AB=3\text{ m}$ e

$B\hat{C}A=30^\circ$ , qual é a medida da extensão de cada degrau?

Lembretes e notações

A tangente do ângulo de $30^\circ$ é dada por $\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt3}$ .
(II) Caso de congruência A.L.A. (ângulo – lado – ângulo): Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois ângulos e o lado compreendido por eles, então estes triângulos são congruentes. (Se você não se lembra dos casos de congruência de triângulos, clique AQUI.)

Solução

Inicialmente, observe que o segmento do início da escada, ilustrado em rosa na próxima figura, tem a extensão de um degrau:

De fato, os triângulos formados entre o perfil da escada e o segmento $\overline{AC}$ são todos congruentes pelo caso A-L-A.

Assim, a medida do cateto ${BC}$ do triângulo retângulo $ABC$ equivale à soma da extensão de seis degraus.

Observe que $\dfrac{AB}{BC}=\tan 30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ . Logo, $BC=AB\cdot \sqrt{3}=3\sqrt{3}$ . Portanto, a extensão de cada degrau é de $\dfrac{3\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,87 \text{ m}.$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.