Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Prove que, em toda coleção de 11 números naturais, existem dois cuja diferença é divisível por 10.
Justifique.
Solução
Existem [tex]10[/tex] possíveis restos na divisão de um número por [tex]10[/tex] e eles variam de [tex]0[/tex] a [tex]9[/tex]. Como estamos nos referindo a [tex]11[/tex] números naturais, pelo Princípio das Casas dos Pombos, pelo menos dois desses números devem ter o mesmo resto na divisão por [tex]10[/tex].
Suponhamos que dois deles tenham resto [tex]r[/tex], quando divididos por [tex]10[/tex].
Assim, os dois números em questão podem ser escritos como [tex]~\boxed{10m+r\,}~[/tex] e [tex]~\boxed{10n+r\,}[/tex], com [tex]m>n[/tex], números naturais.
Subtraindo-os temos:
[tex]\qquad (10m+r)-(10n+r)=10m-10n+r-r=10(m-n),[/tex] em que [tex]m-n[/tex] é natural.
Logo, existe pelo menos uma diferença entre dois números de uma coleção de onze números naturais que seja divisível por [tex]10[/tex].
Solução elaborada pelo Clube Aprendizes de Matemática,
com contribuições dos Moderadores do Blog.