Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
(SANTOS, J.P; MELLO, M.P; MURARI, I.T.C. Introdução à Análise Combinatória- Adaptado) De quantas maneiras podemos distribuir [tex] 98 [/tex] livros iguais entre [tex] 4 [/tex] escolas? Pode ocorrer o caso de alguma das escolas não receber livro algum.
Lembrete:
Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto é escolhê-los levando-se em consideração apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos é denominado uma Combinação simples. Especificamente, quando escolhemos [tex]r[/tex] dentre [tex]n[/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combinação simples de [tex]n[/tex] elementos tomados [tex]r[/tex] a [tex]r[/tex].
E o legal é que, dado um conjunto finito, podemos determinar quantos agrupamentos desse tipo podemos fazer, sem que precisemos exibi-los.
- O número de Combinações simples de [tex]n[/tex] elementos, tomados [tex]r[/tex] a [tex]r[/tex], é denotado por [tex]C_{n,r}[/tex] ou [tex]C_n^r[/tex] e assim definido:
[tex]C_{n,r}=C_n^r=\dfrac{n!}{(n-r)!\,r!} \text{, com } n,r\in\mathbb{N} \text{ e } r\leqslant n[/tex].
Solução
Para solucionar o problema usaremos uma técnica de contagem que aparece na maioria dos livros didáticos como Combinação Completa.
Sejam [tex] x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} [/tex] as quantidades de livros que as escolas [tex] E_1, E_2, E_3[/tex] e [tex] E_4 [/tex] receberão, respectivamente. Temos, então, que:
- [tex] x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}=98 [/tex], com [tex] x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \geq 0 [/tex], ou seja, inteiros não negativos.
Observe dois exemplos de distribuição dos [tex] 98 [/tex] livros:
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Essas soluções, assim como as demais, podem ser representadas por sequências ordenadas: [tex] (23, 44, 0, 31) [/tex] e [tex] (22, 44, 1, 31). [/tex]
Podemos também representar as soluções da equação [tex] x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}=98 [/tex] utilizando [tex] 98 [/tex] sinais [tex] \textcolor{blue}{\oplus} [/tex], que representarão os livros a serem distribuídos, e [tex]3[/tex] sinais [tex] \textcolor{red}{\setminus}[/tex], que separarão os lotes de livros que cada escola receberá. Particularmente, as soluções [tex] (23, 44, 0, 31) [/tex] e [tex] (22, 44, 1, 31)[/tex] seriam representadas como:
[tex]\begin{array}{ccccc}
\underbrace{\textcolor{blue}{\oplus} \textcolor{blue}{\oplus} \textcolor{blue}{\oplus} \dots \textcolor{blue}{\oplus}} \textcolor{red}{\setminus} & \underbrace{\textcolor{blue}{\oplus} \textcolor{blue}{\oplus} \textcolor{blue}{\oplus} \dots \textcolor{blue}{\oplus}} & \textcolor{red}{\setminus} \underbrace{ } \textcolor{red}{\setminus} &
\underbrace{\textcolor{blue}{\oplus} \textcolor{blue}{\oplus} \textcolor{blue}{\oplus} \dots \textcolor{blue}{\oplus}} \\
23 & 44 & 0 & 31 \\
\end{array} [/tex]
[tex]\begin{array}{ccccc}
\underbrace{\textcolor{blue}{\oplus} \dots \textcolor{blue}{\oplus}} \textcolor{red}{\setminus} & \underbrace{\textcolor{blue}{\oplus} \dots \textcolor{blue}{\oplus}} & \textcolor{red}{\setminus} \underbrace{\textcolor{blue}{\oplus} } \textcolor{red}{\setminus} &
\underbrace{\textcolor{blue}{\oplus} \textcolor{blue}{\oplus} \dots \textcolor{blue}{\oplus}} \\
22 & 44 & 1 & 31 \\
\end{array} [/tex]
Para distribuir os livros entre as escolas, formaremos uma fila com os [tex] 98 [/tex] símbolos [tex] \textcolor{blue}{\oplus} [/tex] e usaremos os [tex]3[/tex] sinais [tex] \textcolor{red}{\setminus}[/tex] para separar os lotes. A pergunta cuja resposta resolve o nosso problema é:
- De quantas maneiras podemos distribuir os [tex]3[/tex] [tex] \textcolor{red}{\setminus}[/tex] entre os [tex] 98 [/tex] [tex] \textcolor{blue}{\oplus}[/tex]?
Podemos pensar que temos [tex] 98 +3=101[/tex] posições e destas vamos escolher [tex]3[/tex] para colocar os símbolos [tex] \textcolor{red}{\setminus}[/tex] ou, se preferir, das [tex] 98 +3=101[/tex] posições, vamos escolher [tex]98[/tex] para colocar os símbolos [tex] \textcolor{blue}{\oplus}.[/tex]
A primeira situação equivale a escolher [tex]3[/tex] dentre [tex]101[/tex] objetos e a segunda equivale a escolher [tex]98[/tex] dentre [tex]101[/tex] objetos.
[tex] \underbrace{\underline{\qquad }\quad \underline{\qquad }\quad\underline{\qquad }\quad\underline{\qquad }\quad \dots \quad \underline{\qquad }\quad\underline{\qquad }}_{101}[/tex]
Podemos fazer qualquer uma das duas contagens utilizando combinações simples: [tex]C_{101}^3[/tex] ou [tex]C_{101}^{98}[/tex], já que uma propriedade da Análise Combinatória nos assegura que [tex]C_{101}^3=C_{101}^{98}.[/tex]
De qualquer forma, o número de maneiras possíveis de distribuir [tex] 98[/tex] livros entre as [tex]4[/tex] escolas pode ser assim calculado:
[tex]\dfrac{101!}{98!\, 3!} = \dfrac{ 101 \times 100 \times 99 \times 98!}{ 98!\,3!} = \dfrac{ 101 \times 100 \times 99}{6}= \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$166 \,650$} [/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Para aprender mais…
Análise Combinatória – Combinação Completa
Vídeo extraído do Portal da Matemática
Professor Josimar Silva
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