.Probleminha: Dominós x Xadrez

Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)


No tabuleiro de xadrez abaixo, retiramos as duas casas escuras diagonalmente opostas. Queremos cobri-lo completamente usando 31 peças de dominó iguais, cada uma das quais cobrindo exatamente duas casas do tabuleiro.
É possível realizar tal tarefa? Justifique sua resposta.

tabuleiro

Com o aparato abaixo você pode fazer algumas tentativas para ajudar a chegar à conclusão do problema proposto.
Bom proveito!

Um applet para ajudar


Instruções:
1) Aguarde o aplicativo carregar completamente.
2) Para mover um dominó, clique sobre o interior dele, mantenha o mouse pressionado e arraste-o. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, basta tocar levemente no interior do dominó e fazer o movimento.)
3) Para girar um dominó, utilize a circunferência rosa que aparece em um dos cantos dele. Clique sobre ela, mantenha o mouse pressionado e faça o movimento. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, toque levemente na circunferência e faça o movimento.)
4) Para reiniciar a construção, clique sobre as setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do aparato.


OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra
Observamos que o applet ajuda na visualização da resposta;
mas, matematicamente, não substitui sua demonstração.

Visualize a solução do problema, clicando no botão abaixo.

Solução


Se você não conseguiu concluir a tarefa, acalme-se: não é possível executá-la!
Vejamos o porquê.

  • Perceba que cada peça de dominó cobre uma casa clara e outra escura, sendo necessário que o número de casas claras seja igual ao número de casas escuras para cobrirmos o tabuleiro com dominós.
    Ora, um tabuleiro de xadrez possui 64 casas, sendo 32 claras e 32 escuras; assim, ao retirarmos duas casas escuras diagonalmente opostas, restaram 30 casas escuras e 32 casas claras.
    Deste modo é impossível realizar tal tarefa!

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Participou da discussão o Clube Vencendo as dificuldades.

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/dominos-x-xadrez/

Deixe uma resposta