Teorema do ângulo externo: justificativas e algumas aplicações

Como [tex]C\hat{B}D[/tex] é um ângulo externo do triângulo [tex]ABC[/tex], adjacente ao ângulo interno [tex]A\hat{B}C[/tex], os pontos [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]D[/tex] são colineares, já que os ângulos [tex]A\hat{B}C[/tex] e [tex]C\hat{B}D[/tex], além de adjacentes, são suplementares.
Portanto, β + θ=180°.

1) Aguarde o arquivo carregar. Na janela do applet, você visualizará duas retas paralelas, [tex]p_1[/tex] e [tex]p_2[/tex], e dois quadradinhos.
2) Marque o quadradinho Ângulos alternos internos, clicando sobre ele. Você visualizará uma reta [tex]t_1[/tex], transversal a [tex]p_1[/tex] e [tex]p_2[/tex], e dois ângulos alternos internos com suas respectivas medidas em graus. Clique no ponto C (ou D) com qualquer botão do mouse, mantenha o botão pressionado e movimente o ponto horizontalmente. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, toque levemente no ponto e movimente-o.)
O que você concluiu?
3) Desmarque o quadradinho Ângulos alternos internos, clicando sobre ele.
4) Marque o quadradinho Ângulos correspondentes, clicando sobre ele. Você visualizará uma reta [tex]t_2[/tex], transversal a [tex]p_1[/tex] e [tex]p_2[/tex], e dois ângulos correspondentes com suas respectivas medidas em graus. Clique no ponto A (ou B) com qualquer botão do mouse, mantenha o botão pressionado e movimente o ponto horizontalmente. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, toque levemente no ponto e movimente-o.)
O que você concluiu?
5) Para voltar para a configuração inicial da janela do applet, é só clicar nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do applet.

OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra
Observamos que o applet ajuda na visualização do resultado;
mas, matematicamente, não substitui sua demonstração.

• Justificativa 1: Observe inicialmente que, conforme ilustra o applet acima, ângulos alternos internos têm a mesma medida. Assim, podemos afirmar que, ao traçarmos uma paralela à reta [tex]CA[/tex] passando por [tex]B[/tex], essa paralela define com o segmento [tex]\overline{BA}[/tex] um ângulo com vértice em [tex]B[/tex] cuja a medida é [tex] \textcolor{#0099FF}{\alpha}[/tex].
  
  Note que a paralela à reta [tex]CA[/tex] passando por [tex]B[/tex] que traçamos define com o segmento [tex]\overline{BC}[/tex] um ângulo com vértice em [tex]B[/tex] cuja a medida é [tex] \textcolor{#0099FF}{\alpha}+\textcolor{#080}{\beta}[/tex].
  
  Agora vamos utilizar outra propriedade ilustrada pelo applet acima: ângulos correspondentes têm a mesma medida, e concluir que esse ângulo de medida [tex] \textcolor{#0099FF}{\alpha}+\textcolor{#080}{\beta}[/tex] é congruente ao ângulo externo [tex]A\hat{C}D[/tex].
  
  Dessa forma, segue que, de fato, [tex]\boxed{\textcolor{#FF33FF}{\varphi}=\textcolor{#0099FF}{\alpha}+\textcolor{#080}{\beta}}[/tex].
  A justificativa que fizemos, pode ser repetida para os dois outros ângulos internos do triângulo [tex]ABC[/tex].
  Que tal você tentar?

• Justificativa 2: Para esta justificativa, vamos utilizar uma propriedade importante da geometria:
  A soma das medidas dos ângulos internos de um dado triângulo é [tex]180^\circ[/tex].
  Assim, observando os ângulos internos do triângulo [tex]ABC[/tex], concluímos que
  [tex]\qquad \qquad \textcolor{#0099FF}{\alpha}+\textcolor{#080}{\beta}+\textcolor{#996600}{\theta}=180^\circ[/tex].[tex]\qquad \qquad \textcolor{red}{(i)}[/tex]

  
  Por outro lado, o Problema 1 nos garante que:
  [tex]\qquad \qquad \textcolor{#996600}{\theta}+\textcolor{#FF33FF}{\varphi}=180^\circ[/tex];[tex]\qquad \qquad \textcolor{red}{(ii)}[/tex]

  
  Assim, por [tex]\textcolor{red}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{red}{(ii)}[/tex], segue que:
  [tex]\qquad \qquad \textcolor{#0099FF}{\alpha}+\textcolor{#080}{\beta}+\textcolor{#996600}{\theta}=\textcolor{#996600}{\theta}+\textcolor{#FF33FF}{\varphi}\\
  \qquad \qquad \textcolor{#0099FF}{\alpha}+\textcolor{#080}{\beta}+\cancel{\textcolor{#996600}{\theta}}=\cancel{\textcolor{#996600}{\theta}}+\textcolor{#FF33FF}{\varphi}\\
  \qquad \qquad \boxed{\textcolor{#0099FF}{\alpha}+\textcolor{#080}{\beta}=\textcolor{#FF33FF}{\varphi}}\\
  ~~~~[/tex]
  Observação: Se você não se lembra do resultado que utilizamos de que “A soma das medidas dos ângulos internos de um dado triângulo é [tex]180^\circ[/tex]”, dê uma passadinha nesta Sala.