Teorema do ângulo externo: justificativas e algumas aplicações
Já sei, aqui vamos tentar justificar os dois resultados envolvendo ângulo externo que observamos utilizando o GeoGebra.
Isso mesmo!
Mas vamos também fazer algumas aplicações utilizando, principalmente, o Teorema do Ângulo Externo.
Teorema do ângulo externo: justificativas e algumas aplicações
Justificativas
Problema 1: Dado um triângulo ABC, é bastante comum denominarmos os ângulos AˆBC, BˆCA e CˆAB de ângulos internos do triângulo. Os adjacentes a esses ângulos, obtidos mediante prolongamento dos lados do triângulo, são denominados de ângulos externos do triângulo ABC.
Por exemplo, na figura abaixo, CˆBD é um ângulo externo do triângulo ABC, adjacente ao ângulo interno AˆBC.
Considerando as medidas β e θ assinaladas na figura, justifique porque β + θ=180°.
Como CˆBD é um ângulo externo do triângulo ABC, adjacente ao ângulo interno AˆBC, os pontos A, B e D são colineares, já que os ângulos AˆBC e CˆBD, além de adjacentes, são suplementares.
Portanto, β + θ=180°.
Um applet para recordar: Utilize um applet para recordar dois fatos importantes sobre congruência de ângulos que serão utilizados no Problema 2. É só clicar no botão a seguir.
1) Aguarde o arquivo carregar. Na janela do applet, você visualizará duas retas paralelas, p1 e p2, e dois quadradinhos.
2) Marque o quadradinho Ângulos alternos internos, clicando sobre ele. Você visualizará uma reta t1, transversal a p1 e p2, e dois ângulos alternos internos com suas respectivas medidas em graus. Clique no ponto C (ou D) com qualquer botão do mouse, mantenha o botão pressionado e movimente o ponto horizontalmente. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, toque levemente no ponto e movimente-o.)
O que você concluiu?
3) Desmarque o quadradinho Ângulos alternos internos, clicando sobre ele.
4) Marque o quadradinho Ângulos correspondentes, clicando sobre ele. Você visualizará uma reta t2, transversal a p1 e p2, e dois ângulos correspondentes com suas respectivas medidas em graus. Clique no ponto A (ou B) com qualquer botão do mouse, mantenha o botão pressionado e movimente o ponto horizontalmente. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, toque levemente no ponto e movimente-o.)
O que você concluiu?
5) Para voltar para a configuração inicial da janela do applet, é só clicar nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do applet.
OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra Observamos que o applet ajuda na visualização do resultado;
mas, matematicamente, não substitui sua demonstração.
Problema 2: Justifique porque a medida de um ângulo externo de um triângulo qualquer é a soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a esse ângulo externo.
Considere um triângulo ABC qualquer, fixe um de seus ângulos internos e os dois ângulos externos adjacentes a esse ângulo, conforme ilustra a figura a seguir.
Vamos justificar a afirmação de que um ângulo externo de um triângulo é a soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a esse ângulo externo. No caso ilustrado pela figura, vamos mostrar que φ=α+β.
Justificativa 1: Observe inicialmente que, conforme ilustra o applet acima, ângulos alternos internos têm a mesma medida. Assim, podemos afirmar que, ao traçarmos uma paralela à reta CA passando por B, essa paralela define com o segmento ¯BA um ângulo com vértice em B cuja a medida é α.
Note que a paralela à reta CA passando por B que traçamos define com o segmento ¯BC um ângulo com vértice em B cuja a medida é α+β.
Agora vamos utilizar outra propriedade ilustrada pelo applet acima: ângulos correspondentes têm a mesma medida, e concluir que esse ângulo de medida α+β é congruente ao ângulo externo AˆCD.
Dessa forma, segue que, de fato, φ=α+β.
A justificativa que fizemos, pode ser repetida para os dois outros ângulos internos do triângulo ABC. Que tal você tentar?
Justificativa 2: Para esta justificativa, vamos utilizar uma propriedade importante da geometria: A soma das medidas dos ângulos internos de um dado triângulo é 180∘.
Assim, observando os ângulos internos do triângulo ABC, concluímos que α+β+θ=180∘.(i)
Por outro lado, o Problema 1 nos garante que: θ+φ=180∘;(ii)
Assim, por (i) e (ii), segue que: \qquad \qquad \textcolor{#0099FF}{\alpha}+\textcolor{#080}{\beta}+\textcolor{#996600}{\theta}=\textcolor{#996600}{\theta}+\textcolor{#FF33FF}{\varphi}\\
\qquad \qquad \textcolor{#0099FF}{\alpha}+\textcolor{#080}{\beta}+\cancel{\textcolor{#996600}{\theta}}=\cancel{\textcolor{#996600}{\theta}}+\textcolor{#FF33FF}{\varphi}\\
\qquad \qquad \boxed{\textcolor{#0099FF}{\alpha}+\textcolor{#080}{\beta}=\textcolor{#FF33FF}{\varphi}}\\
~~~~
Observação: Se você não se lembra do resultado que utilizamos de que “A soma das medidas dos ângulos internos de um dado triângulo é 180^\circ”, dê uma passadinha nesta Sala.
Mais problemas
Problema 3: O triângulo ABC é isósceles de vértice A, assim os pontos A, B e os pontos A,C determinam lados com o mesmo comprimento.
Toma-se o ponto E sobre o lado \overline{AB} e os pontos D e F sobre o lado \overline{AC} de forma que os segmentos \overline{BC},\, \overline{BD},\, \overline{DE},\, \overline{EF},\, \overline{FA}\, tenham o mesmo comprimento.
Determine, em graus, a medida α do ângulo relativo ao vértice A.
Problema 4: O triângulo ABC é isósceles de vértice A, assim os pontos A, B e os pontos A,C determinam lados com o mesmo comprimento.
Toma-se o ponto E sobre o lado \overline{AB} e o ponto F sobre o lado \overline{AC} de forma que os ângulos C\hat{B}F, \, B\hat{C}E\, tenham medidas 60° e 50°, conforme indicado na figura.
Sabendo-se que a medida do ângulo relativo ao vértice A é 20°, determine, em graus, a medida α indicada na figura.
Problema 5: Determine, em graus, a medida α indicada na figura abaixo.
Alguma dificuldade com os problemas 3 e 4?
Tente um pouco mais e depois assista aos vídeos disponibilizados na próxima Sala .
Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/brincando-com-geometria-teorema-do-angulo-externo/teorema-do-angulo-externo-justificativas-e-algumas-aplicacoes/
