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Problema
(A partir do 1º ano do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)
(FGV-SP, 2007 – Adaptado) Seja f:R→R uma função afim que satisfaz as seguintes condições:
- f(1)⩽f(2),
- f(3)⩾f(4),
- f(5)=6.
Determine f(7).
Solução
Se f:R→R é uma função afim, então existem números reais a e b tais que f(x)=ax+b.
Assim:
- Da hipótese de que f(1)⩽f(2), segue que:
- Da hipótese de que f(3) \geqslant f(4), segue que:
a⋅1+b⩽a⋅2+b
a+b⩽2a+b
a⩽2a
0⩽2a−a
\quad 0 \leqslant a.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}
\quad a\cdot 3+b \geqslant a\cdot 4+b
\quad 3a+b \geqslant 4a+b
\quad 3a\geqslant 4a
\quad 0\geqslant 4a-3a
\quad a \leqslant 0.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}
Por \textcolor{#800000}{(i)} e \textcolor{#800000}{(ii)}, temos que \boxed{\,0 \leqslant a \leqslant 0\,}\, e, portanto, \boxed{\, a=0\, }.
Dessa forma, a lei de formação da função f se reduz a f(x)=b\,.
- Com isso, da hipótese de que f(5)= 6, segue que 6=f(5)=b, ou seja, \boxed{\,b=6\,}.
Pelo exposto, concluímos que f(x)=6,\, \forall x \in \mathbb{R}, e portanto, em particular, \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\,f(7)=6\,$}\,.
Observação importante: Na solução deste problema, utilizamos o fato de uma função afim f ser definida por \boxed{\,f(x)=ax+b\,}, com a\; e \;b números reais quaisquer.
No entanto, essa definição não é uma unanimidade. Vários autores definem uma função afim f da seguinte forma:
\qquad f:\mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R}
\qquad f(x)=ax+b, sendo a\; e \;b números reais, com a\ne 0.
Como nos cálculos que fizemos chegamos à conclusão de que \boxed{\, a=0\, }, utilizando essa segunda definição concluímos que a função afim f do problema NÃO EXISTE. Consequentemente a imagem f(7) também não existiria!
Neste caso, a resposta do problema seria: f(7) não existe, pois a função f não está definida.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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