(A) Problema para ajudar na escola: Uma função

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Difícil)

• $f(1-x)=\dfrac{1}{f(x)}$
• $f(\frac{1}{x})=\dfrac{1}{f(f(x))}$
• $f(f(f(x)))=x$.

(a) Determine $a$ tal que $f(a)=0$.
(b) Determine $b$ tal que $f(b)=1$.
(c) Determine $f(2), \, f(-1), \, f(\frac{1}{2})$.

Solução

Seja $f$ uma função real definida para qualquer número real diferente de $0$ e $1$ e que satisfaz as seguintes condições:
$\textcolor{#800000}{(i)} \, f(1-x)=\dfrac{1}{f(x)}$
$\textcolor{#800000}{(ii)} \, f(\frac{1}{x})=\dfrac{1}{f(f(x))}$
$\textcolor{#800000}{(iii)} \, f(f(f(x)))=x.$

(a) Para resolver este item, observe que se $m \,$ e $\, n$ são números reais, então

$\dfrac{m}{n}=0 \iff m=0 \textcolor{#FF00FF}{ \text{ e } } n\ne 0$;

dessa forma, uma das condições necessárias para que um número escrito na forma $\dfrac{m}{n}$ seja $0$ é que $m$ seja $0$.
Portanto, como $1\ne 0$, o número $\dfrac{1}{f(x)} \ne 0$, para todo número real $x$ para o qual a função está definida.
Dessa forma, não existe $a$ tal que $f(a)=0.$
Uma outra forma de resolver este item é observar que, se existisse um número real $a$ tal que $f(a)=0$, pela condição $\textcolor{#800000}{(iii)}$, teríamos que:
$\qquad f(f(f(a)))=a$
$\qquad f(\textcolor{red}{f(0)})=a.$
e, portanto, para que esse número $a$ existisse, a função $f$ deveria estar definida para $\textcolor{red}{x=0}$, o que não ocorre.

(b) Seja $b$ um número real tal que $f(b)=1$. Assim, pela condição $\textcolor{#800000}{(iii)}$, segue que:
$\qquad f(f(f(b)))=b$
$\qquad f(\textcolor{#00BFFF}{f(1)})=b.$
Com isso, observamos que para que o número $b$ exista, a função deve estar definida para $\textcolor{#00BFFF}{x=1}$, o que contraria uma das hipóteses de definição da função $f.$
Portanto, não existe $b$ tal que $f(b)=1.$

• Fazendo $x=\dfrac{1}{2}$ em $\textcolor{#800000}{(i)}$, segue que:
  $\qquad f\left(1-\frac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{f\left(\frac{1}{2}\right)}$
  $\qquad f\left(\frac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{f\left(\frac{1}{2}\right)}$
  $\qquad \left[f\left(\frac{1}{2}\right)\right]^2=1$
  $\qquad \sqrt{\left[f\left(\frac{1}{2}\right)\right]^2}=\sqrt{1}$
  $\qquad \left|f\left(\frac{1}{2}\right) \right|=1$
  $\qquad f\left(\frac{1}{2}\right)=\pm 1.$
  Por esses cálculos temos que $f\left(\frac{1}{2}\right)=1 \,$ ou $\, f\left(\frac{1}{2}\right)=-1$; mas, pelo item (b), descartamos a possibilidade $f\left(\frac{1}{2}\right)=1 \,$.
  Assim, $\, \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$f\left(\frac{1}{2}\right)=-1$} \, .$
• Agora, fazendo $x=2$ em $\textcolor{#800000}{(ii)}$, obtemos que:
  $\quad f(\frac{1}{2})=\dfrac{1}{f(f(2))}. \,$
  $\qquad -1=\dfrac{1}{f(f(2))}$
  $\qquad \boxed{f(f(2))=-1} \, .$
  Como de $\textcolor{#800000}{(iii)}$ segue que $f(f(f(2)))=2$, concluímos que $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$f(-1)=2$} \, .$
• Finalmente, fazendo $x=2$ em $\textcolor{#800000}{(i)}$, obtemos que:
  $\qquad f(1-2)=\dfrac{1}{f(2)}$
  $\qquad f(-1)=\dfrac{1}{f(2)}$
  $\qquad 2=\dfrac{1}{f(2)}$
  $\qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$f(2)=\frac{1}{2}$} \, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.