Clique no botão abaixo para visualizar o problema.
Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Muito Difícil)
(Olimpíada Espanhola de Matemática, 2018) Para quais números naturais não nulos n e m o número
X=n2+2018mn+2019m+n−2019m2
é primo?
Solução
Observe, inicialmente, que podemos reescrever assim o número X:
X=n2+2018mn+2019m+n−2019m2
X=n2+2018mn+2019m+n−2019m2+(mn−mn)
X=n2+2019mn+2019m+n−2019m2−mn
X=(n2+n−mn)+(2019mn+2019m−2019m2)
X=n(n+1−m)+2019m(n+1−m)
X=(n+2019m)(n+1−m).
Como por hipótese n,m⩾1, então (n+2019m)>1. Assim, para que X seja um número primo, necessariamente
(n+2019m) é um número primo e (n+1−m)=±1. (Se você estranhou a condição de que (n+1−m)=−1, observe que m e n são positivos, mas X pode ser negativo.)
Vamos analisar a condição (n+1−m)=±1
- \textcolor{#800000}{(i)} Se \left(n+1-m\right)=1, então n=m e, neste caso, teríamos
\qquad \qquad n+2019m=n+2019n=2020n=2\times (1010n).
Como (1010n) \gt 1, o fator \left(n+2019m\right) não seria um número primo.
\textcolor{#800000}{(ii)} Se \left(n+1-m\right)=-1, então n=m-2 e, agora, teríamos
\qquad \qquad n+2019m=(m-2)+2019m=2020m-2=2\times (1010m-1)
Como (1010m-1) \gt 1, o fator \left(n+2019m\right) também não seria um número primo.
Dessa forma, não existem números naturais não nulos n e m tais que \boxed{X=n^2+2018mn+2019m+n-2019m^2} seja primo.
No entanto, se abrirmos mão da condição de n e m serem não nulos, obtemos o primo X=2 fazendo m=0 e n=1. E esse será o único X primo, mesmo sendo n e m naturais não necessariamente nulos:
- para n=0, X será um múltiplo de 2019 para qualquer número natural m;
- para m=0 e n=1, teremos X=2, que é um número primo;
- para m=0 e n \gt 1, teremos X=n(n+1), ou seja, X é um número par maior do que 2 e, portanto, não é um número primo.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
 |
Se for conveniente, você pode obter um arquivo PDF desta página, com o problema e a solução, clicando no botão abaixo. |