(A) Problema para ajudar na escola: Um desenho desafiador

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)

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(XX OPM, 2001 – Adaptado) No interior de um retângulo, foram desenhados dois triângulos e uma circunferência, conforme mostra a figura.

Sabendo que a circunferência tangencia os três segmentos nos quais se apoia, quanto mede a área da região colorida?

Solução

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Para facilitar a solução, vamos nomear o retângulo de $ABCD$, o centro da circunferência de $O$, seu raio de $r$ e os seus pontos de tangência com relação aos segmentos nos quais ela se apoia de $F$, $G$ e $H$, conforme indica a figura abaixo.

A área da região colorida é a soma de três áreas: as áreas dos triângulos $AED$ e $BEC$ e a área do círculo de centro em $O$ e raio $r.$

► Áreas dos triângulos $AED$ e $BEC$
As áreas dos triângulos são iguais e podem ser calculadas sem muita complicação, já que os triângulos em questão são triângulos retângulos e, portanto, seus catetos podem ser considerados como base e altura. Assim:

• $A_{ADE}=A_{BEC}=\dfrac{2 \times 2}{2}=2 \, cm^2 \, .\qquad \textcolor{#800000}{(i)}$

► Área do círculo
Aqui teremos um pouco mais de trabalho…

• Observe, inicialmente, que $H\hat EG$ é um ângulo reto.

Com efeito, note que os triângulos retângulos $AED$ e $BEC$ são isósceles; logo, os ângulos das respectivas bases medem $45^\circ$ cada. Com isso, a medida do ângulo $A\hat EB$ é $\boxed{180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ} \, .$

• Observe também que o quadrilátero $OGEH$ é um quadrado.

Com efeito, note que os ângulos $O\hat GE$, $G\hat EH$ e $E\hat HO$ medem $90^\circ$ cada; logo, o quarto ângulo interno do quadrilátero, $H\hat {O}G$, também mede $90^\circ$ e, portanto, o quadrilátero $OGEH$ é um retângulo. Mas é um retângulo com dois lados adjacentes com o mesmo comprimento $r$; logo, é um quadrado, de fato.

Podemos então fazer um desenho mais completo da figura fornecida pelo problema e obter o valor de $r$, que permitirá obtermos a área do círculo que compõe a região colorida.

Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo $OGE.$ Para isso, observe que o comprimento em $\, cm$ do segmento $OE$, hipotenusa do triângulo, é $2-r$ e assim:
$\qquad \left(2-r\right)^2=r^2+r^2$
$\qquad 4-4r+r^2=2r^2$
$\qquad r^2+4r-4=0. \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}$
Resolvendo a equação do segundo grau $\textcolor{#800000}{(ii)}$ obtemos que:
$\qquad r=\dfrac{-4\pm\sqrt{16+16}}{2}=\dfrac{-4\pm\sqrt{32}}{2}$
$\qquad r=\dfrac{-4\pm 4\sqrt{2}}{2}=-2\pm 2\sqrt{2}.$
Mas $r$ é o comprimento de um segmento e, portanto, maior do que zero. Assim, $r= 2\sqrt{2}-2 \, \, cm.$
Dessa forma, a área do círculo de centro em $O$ e raio $r$ é

• $A_{circ}=\pi \left( 2\sqrt{2}-2 \right)^2=\pi \left( 8-8\sqrt{2}+4\right)=\pi \left( 12-8\sqrt{2}\right) \, cm^2.\qquad \textcolor{#800000}{(iii)}$

► Área da região colorida
Por $\textcolor{#800000}{(i)}$ e $\textcolor{#800000}{(iii)}$, temos que a área da região colorida pode ser assim calculada:
$\qquad A_{\textcolor{#FF8C00}{ \, colorida}}=A_{ADE}+A_{BEC}+A_{circ}$
$\qquad A_{\textcolor{#FF8C00}{ \, colorida}}=2+2+\pi \left( 12-8\sqrt{2}\right)$
$\qquad A_{\textcolor{#FF8C00}{ \, colorida}}=4+\pi \left( 12-8\sqrt{2}\right).$

Portanto, a área da região colorida é $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, 4+\pi \left( 12-8\sqrt{2}\right) \, cm^2$} \, .$

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.