(A) Problema para ajudar na escola: Todas as diferenças

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Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)

(Um Círculo Matemático de Moscou – Adaptado) Amanda escolheu onze números naturais e, dois a dois, calculou todas as diferenças possíveis entre esses números.
É possível garantir que Amanda tenha encontrado alguma diferença divisível por

$5$ ?
E por

$10$ ?

Ajuda para as Soluções 1 e 2

Princípio das casas de pombos: Se tivermos $n+1$ pombos para serem colocados em $n$ casas, então pelo menos uma casa deverá conter mais de um pombo.

(Se você não conhece esse Princípio, clique AQUI.)

Solução 1

O último algarismo de qualquer número natural é

$0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8 \,$ ou

$\, 9$ , ou seja, são dez possibilidades. Assim, como Amanda escolheu onze números, na pior das hipóteses, dois deles terminam com o mesmo algarismo. Essa afirmação é bastante intuitiva, mas é garantida matematicamente pelo Princípio das casas de pombos: temos

$10$ algarismos finais (casas) para serem associados a

$11$ números (pombos); então pelo menos um algarismo final deverá ser associado a mais de um número.
Dessa forma, a diferença de dois dos números que têm o mesmo algarismo final será um número que termina em zero:

$\qquad \qquad a_1a_2\cdots \textcolor{red}{u}-b_1b_2\cdots \textcolor{red}{u}=c_1c_2\cdots \textcolor{red}{0} \, .$
Bom, um número que termina em zero é divisível por

$10$ e, consequentemente, por

$5$ . Assim, Amanda com certeza encontrou pelo menos uma diferença divisível por

$5$ e por

$10.$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Ajuda para a Solução 2

Sejam $n$ e $a$ números naturais, com $a\ne 0.$
O que acontece com o quociente e o resto da divisão de $n$ por $a$ ?

Observemos…

$\qquad \qquad \begin{array}{r} n \, \end{array} \begin{array}{|r} \, a \, \, \, \\ \hline \end{array}$

$\qquad \qquad\begin{array}{r} r \end{array}\begin{array}{r} \, \, \, q \end{array}\qquad \qquad$

Ao dividirmos

$n$ por

$a$ encontraremos um quociente

$q$ e um resto

$r$ , naturais e únicos, tais que:

$\, \, \, (1) \, \, 0 \le r \lt a \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,$

$(2) \, \, n=q \times a+r$ .

Solução 2

Embora seja possível resolver os itens (a) e (b) simultaneamente, vamos resolvê-los separadamente para reforçar o raciocínio que utilizaremos.

(a)

Ajuda

$5$

$0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4$

$5$

$11$

$x$

$y.$

Ajuda

$x=5 \, q_1 +r\quad$ e $\quad \, \, y=5\, q_2+r \,$ , com $r, \, q_1, \, q_2 \in \mathbb{N}$ tais que $0 \le r \lt 5.$

Dessa forma, supondo sem perda de generalidade que $x\gt y$ , obtemos que

$\, x-y=5 \, \left(q_1-q_2 \right)+0$ , com $q_1-q_2 \in \mathbb{N}$ .

Pela unicidade do resto em uma divisão, concluímos que a diferença $x-y$ é divisível por $5.$

(b) Utilizando a segunda Ajuda, observamos que, ao dividir um número natural por $10$ , podemos obter dez restos: $0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8, \, 9$ . Assim, temos $10$ restos para serem associados aos $11$ números escolhidos por Amanda.
Logo, pelo Princípio das casas de pombos, pelo menos um resto deverá ser associado a mais de um desses números, digamos os números $t$ e $z.$
Utilizando a segunda Ajuda novamente, temos:

$t=10 \, q_3 +r_1\quad$ e $\quad \, \, z=10\, q_4+r_1 \,$ , com $r_1, \, q_3, \, q_4 \in \mathbb{N}$ tais que $0 \le r_1 \lt 10.$

Dessa forma, supondo sem perda de generalidade que $t\gt z$ , obtemos que

$\, t-z=10 \, \left(q_3-q_4 \right)+0$ , com $q_3-q_4 \in \mathbb{N}$ .

Pela unicidade do resto em uma divisão, concluímos que a diferença $t-z$ é divisível por $10.$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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