(A) Problema para ajudar na escola: Ternas ordenadas – um desafio

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Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

Determinar todas as ternas ordenadas de números naturais não nulos

$(x,y,z)$ tais que

$\boxed{\dfrac{3xy-1}{xyz+1}} \,$

seja um número inteiro positivo.

Ajuda

Se $m$ e $n$ são números naturais (ou inteiros), com $n \ne 0$ , o que significa $\dfrac{m}{n}$ ser um número natural (ou inteiro)?
Por que $\dfrac {6}{2}$ é um número natural e $\dfrac {5}{4}$ não é?
A resposta para essas perguntas (e a dica para o problema) é, simplesmente, a definição de divisor …
Especificamente, as respostas da segunda pergunta são:

$6=3\times 2 \,$ e $\, 3 \,$ é um número natural.
Não existe um número natural (ou inteiro) $k$ tal que $5=k \times 4$ .

Para o problema, basta observar que se $\dfrac{3xy-1}{xyz+1}$ é um número natural, então $xyz+1$ é divisor de $3xy-1$ , ou seja, $3xy-1$ é da forma $3xy-1=k \times (xyz+1)$ , com $k \in \mathbb{N} \, .$

Solução

Como

$\dfrac{3xy-1}{xyz+1}$ é um número natural não nulo, então existe um número natural não nulo

$n$ tal que

$3xy-1=n(xyz+1).$
Assim, segue que

$\qquad 3xy-1=xyzn+n$

$\qquad xy(3-nz)=n+1$

$\qquad 3-nz=\dfrac{n+1}{xy}$ ,
uma vez que

$xy \ne 0 \, .$
Mas

$\dfrac{n+1}{xy} \gt 0$ ; logo,

$3-nz \gt 0$ , ou ainda,

$0\lt nz \lt 3$ , já que

$x,y,n$ são positivos.
Dessa forma, temos que

$nz=1 \,$ ou

$\, nz=2 \, .$
Agora é só analisar as possibilidades para

$n$ e

$z$ e obter os consequentes valores para

$(x,y)$ , sabendo que

$xy=\dfrac{n+1}{ 3-nz}$ .
Possibilidades para

$\, n \,$ e

$\, z$ :

$\, \boxed{n=1 \, , \, z=1} \,$ ;

$\, \boxed{n=1 \, , \, z=2} \,$ ;

$\, \boxed{n=2 \, , \, z=1} \, .$

Caso 1: $\, n=1 \, , \, z=1 \,$
Como
$\qquad xy=\dfrac{n+1}{ 3-nz}=\dfrac{2}{ 2}=1$ ,
então, só temos uma possibilidade para $x \,$ e $\, y$ : $x=1 \,$ e $\, y=1$ .
Neste caso, temos a nossa primeira terna ordenada: $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(x,y,z)=(1,1,1)$} \, .$
Caso 2: $\, n=1 \, , \, z=2 \,$
Aqui,
$\qquad xy=\dfrac{n+1}{ 3-nz}=\dfrac{2}{ 1}=2$ ,
então, temos as seguintes possibilidades para $x \,$ e $\, y$ : $x=1 \,$ e $\, y=2 \,$ ou $x=2 \,$ e $\, y=1 \, .$
Neste caso, temos mais duas ternas ordenadas: $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(x,y,z)=(1,2,2)$} \,$ e $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(x,y,z)=(2,1,2)$} \, .$
Caso 3: $\, n=2 \, , \, z=1 \,$
Agora,
$\qquad xy=\dfrac{n+1}{ 3-nz}=\dfrac{3}{ 1}=3$ ,
e temos as seguintes possibilidades para $x \,$ e $\, y$ : $x=1 \,$ e $\, y=3 \,$ ou $x=3 \,$ e $\, y=1 \, .$
Neste caso, temos outras duas ternas ordenadas: $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(x,y,z)=(1,3,1)$} \,$ e $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(x,y,z)=(3,1,1)$} \, .$

Portanto, são cinco as ternas ordenadas $(x,y,z)$ que satisfazem as condições do problema.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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