(A) Problema para ajudar na escola: Somas de elementos de um conjunto

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)

• $1967, 1972, 1973, 1974, 1975, 1980, 1983, 1984, 1989$ e $1991.$

Quais são os elementos do conjunto $A$?

Solução

Suponhamos que o conjunto em questão seja $A=\{n_1\, ,\, n_2\, ,\, n_3\, ,\, n_4\, ,\, n_5\}$.
Como o conjunto $A$ tem cinco elementos, então os números inteiros $n_1,n_2,n_3,n_4$ e $n_5$ são distintos dois a dois; assim, suponhamos, sem perda de generalidade, que $n_1\lt n_2\lt n_3\lt n_4\lt n_5\, .$
Observe que as somas dos elementos de $A$ aparecem em ordem crescente:

$1967\lt 1972\lt 1973\lt 1974\lt 1975\lt 1980\lt 1983\lt 1984\lt 1989 \lt 1991$,

logo, $1967$ é a soma dos dois menores elementos de $A$ e $1991$ é a soma dos dois maiores elementos de $A.$ Com isso, obtemos duas relações importantes para a solução do problema:

$n_1+ n_2=1967\, ;\qquad \textcolor{#800000}{(i)}\\ n_4+ n_5=1991\, .\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}$

Observe, agora, que
$\qquad \boxed{\left(n_1+n_2\right)+\left(n_1+n_3\right)+\left(n_1+n_4\right)+\left(n_1+n_5\right)+\\ +\left(n_2+n_3\right)+\left(n_2+n_4\right)+\left(n_2+n_5\right)+\\ +\left(n_3+n_4\right)+\left(n_3+n_5\right)+\\ +\left(n_4+n_5\right)=\\ =4\left(n_1+n_2+n_3+n_4+n_5\right)}$
é a soma de todas as somas de elementos de $A$ dois a dois; portanto, como
$\quad 1967+1972+1973+1974+1975+1980+1983+\\ \qquad \, +1984+1989+1991=19788,$
segue das hipóteses do problema que
$\qquad 4\left(n_1+n_2+n_3+n_4+n_5\right)=19788$,
ou seja,

$n_1+n_2+n_3+n_4+n_5=4947\, .\qquad \textcolor{#800000}{(iii)}$

Assim, de $\textcolor{#800000}{(i)}$, $\textcolor{#800000}{(ii)}$ e $\textcolor{#800000}{(iii)}$, temos que:
$\qquad \left(n_1+n_2\right)+n_3+\left(n_4+n_5\right)=4947\\ \qquad 1967+n_3+1991=4947\\ \qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n_3=989$}\, .$
Por outro lado, observe que $n_1\lt n_2$; assim, segue que $n_1+n_3\lt n_2+n_3$ e, como $1972$ é a segunda menor soma de elementos de $A$, obtemos mais uma relação entre os elementos de $A:$

$n_1+ n_3=1972\, .\qquad \textcolor{#800000}{(iv)}$

De forma análoga, note que $1989$ é a segunda maior soma de elementos de $A$ e de $n_4\lt n_5$ segue que $n_3+n_4\lt n_3+n_5$, logo:

$n_3+ n_5=1989\, .\qquad \textcolor{#800000}{(v)}$

Substituindo $n_3=989$ em $\textcolor{#800000}{(iv)}$, segue que:
$\qquad n_1+ n_3=1972\\ \qquad n_1+ 989=1972\\ \qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n_1=983$}\, .$
E substituindo $n_3=989$ em $\textcolor{#800000}{(v)}$, temos que:
$\qquad n_3+ n_5=1989\\ \qquad 989+n_5=1989\\ \qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n_5=1000$}\, .$
Finalmente, substituindo $n_1=983$ em $\textcolor{#800000}{(i)}$, segue que:
$\qquad n_1+ n_2=1967\\ \qquad 983+n_2=1967\\ \qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n_2=984$}$
e substituindo $n_5=1000$ em $\textcolor{#800000}{(ii)}$, segue que:
$\qquad n_4+ n_5=1991\\ \qquad n_4+1000=1991\\ \qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n_4=991$}\, .$
Portanto, o conjunto $A$ fica assim definido: $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$A=\{983, 984, 989, 991, 1000\}$}\, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.