.Problema para ajudar na escola: Um presente guardado no cofre

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)

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Seu Paulo comprou um presente para o filho Paulinho. Porém, para fazer suspense, seu Paulo colocou o presente em um pequeno cofre que eles têm em casa e cuja senha de abertura o Paulinho não conhece. Essa senha é um número natural $N$ com cinco algarismos e seu Paulo forneceu a seguinte pista para o Paulinho:

• Se $P$ é o número que se obtém colocando à direita de $N$ o algarismo $1$ e $Q$ é o número que se obtém colocando à esquerda de $N$ o algarismo $1$, então $P$ é o triplo de $Q$.

Qual a senha do cofre onde está o presente do Paulinho?

Solução

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Sejam $\, \, a, \, b, \, c, \, d, \, e \, \,$ os algarismos do número $N \,$; portanto:

a senha do cofre é $\boxed{N=abcde} \, \, \,$; $\, \, \, \boxed{P=abcde1} \, \, \,$ ; $\, \, \, \boxed{Q=1abcde} \,$.

(Antes de prosseguir, perceba que as notações $abcde$, $abcde1$ e $1abcde$ não indicam produtos e sim representações de número de cinco algarismos no sistema decimal.)
Sabemos que $P$ é o triplo de $Q$, então vamos utilizar o algoritmo da multiplicação para tentar obter os cinco algarismos em questão e, consequentemente, ajudar Paulinho.

• Primeira etapa do algoritmo:

  $\begin{array}{c&c&c&c&c&c} 1&a&b&c&d&e\\ &&&&\times&3\\ \hline a&b&c&d&e&1\end{array}$

  Como o algarismo das unidades do produto é $1$, concluímos que $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$e=7$} \,$, pois $3\times 7=2\underline{1}$ e $7$ é o único algarismo que, quando multiplicado por $3 \,$, resulta em um produto que termina em $1$.

Substituindo o algarismo $e$ pelo seu valor e fazendo a multiplicação $3\times 7=21$, partimos para a próxima etapa.

• Segunda etapa do algoritmo:

  $\begin{array}{c&c&c&c&c&c}&&&&\underline{_2}&\\1&a&b&c&d&7\\&&&&\times&3\\\hline a&b&c&d&7&1\end{array}$

  O último algarismo do número $\boxed{3\times d+2} \,$ deve ser $7$. Aqui, a única possibilidade é $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$d=5$} \,$, pois $3\times 5+2=1\underline{7}$ e $5$ é o único algarismo que produz o resultado desejado terminando em $7$.

Vamos substituir o algarismo $d$ pelo seu valor, efetuar $3\times 5+2=17$ e partir para mais uma etapa.

• Terceira etapa do algoritmo:

  $\begin{array}{c&c&c&c&c&c}&&&\underline{_1}&\underline{_2}&\\1&a&b&c&5&7\\&&&&\times&3\\\hline a&b&c&5&7&1\end{array}$

  Ao fazermos $\boxed{3\times c+1} \,$ obteremos um número cujo último algarismo é $5$. Veja que $3\times 8+1=2\underline{5}$ e $8$ é o único algarismo que produz o resultado necessário terminado em $5$. Assim, $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$c=8$} \, .$

Substituímos o algarismo $c$ pelo seu valor, fazemos a soma $(3\times 8)+1=25$ e podemos efetuar mais uma etapa do algoritmo.

• Quarta etapa do algoritmo:

  $\begin{array}{c&c&c&c&c&c}&&\underline{_2}&\underline{_1}&\underline{_2}&\\1&a&b&8&5&7\\&&&&\times&3\\\hline a&b&8&5&7&1\end{array}$

  Faremos agora $\boxed{3\times b+2} \,$ e o resultado deve terminar em $8$. De maneira análoga, $3\times 2+2=\underline{8}$ e $2$ é o único algarismo que produz o resultado em questão terminando em $8$. Assim, $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$b=2$} \, .$

Ufa, faremos $b=2$ e vamos para a última etapa do algoritmo.

• Quinta etapa do algoritmo:

  $\begin{array}{c&c&c&c&c&c}&&\underline{_2}&\underline{_1}&\underline{_2}&\\1&a&2&8&5&7\\&&&&\times&3\\\hline a&2&8&5&7&1\end{array}$

  Agora ficou fácil: precisamos de um algarismo que multiplicado por $3$ resulte um número que termine em $2$ e apenas o $4$ tem essa característica; assim $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a=4$} \, .$

• Veja a multiplicação completa:

  $\begin{array}{c&c&c&c&c&c}&&\underline{_2}&\underline{_1}&\underline{_2}&\\1&4&2&8&5&7\\&&&&\times&3\\\hline 4&2&8&5&7&1\end{array}$

Pronto, Paulinho, a senha que permite a você abrir o cofre e pegar seu presente é $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$428571$}$ !

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.