Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Uma circunferência [tex]\Gamma_1[/tex] possui um arco de [tex]45^\circ[/tex] com o mesmo comprimento de um arco de [tex]30^\circ[/tex] de uma outra circunferência [tex]\Gamma_2[/tex].
Qual é a razão entre as áreas dos círculos determinados pelas circunferências [tex]\Gamma_1[/tex] e [tex]\Gamma_2[/tex]?
Ajuda
A um arco de circunferência podemos associar duas medidas distintas:
✐ a sua medida angular, [tex]\alpha[/tex];
✐ a sua medida linear, [tex]c[/tex].
Ambas podem ser obtidas a partir da medida angular e do comprimento da circunferência que define o arco por meio de uma regra de três simples:
| [tex]2\pi \, r[/tex] | ————————————– | [tex]360^\circ[/tex] |
| [tex]c[/tex] | ————————————– | [tex]\alpha[/tex] |
Se você não se lembra disso, não faz mal: clique AQUI.
Solução
Sejam [tex]r_1[/tex] e [tex]r_2[/tex] os raios dos círculos [tex]\Gamma_1[/tex] e [tex]\Gamma_2[/tex], respectivamente.
- Vamos, inicialmente, fazer duas regras de três para obtermos os comprimentos dos arcos definidos em [tex]\Gamma_1[/tex] e [tex]\Gamma_2[/tex].
- Como sabemos que os dois arcos possuem o mesmo comprimento, segue que:
[tex]\qquad c_1=c_2[/tex][tex]\qquad\dfrac{r_1\pi}{4}=\dfrac{r_2\pi}{6}[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac{2}{3}[/tex].
- Vamos, finalmente, calcular a razão entre as áreas dos círculos determinados por [tex]\Gamma_1[/tex] e [tex]\Gamma_2[/tex]:
| [tex]2\pi \, r_1[/tex] | —————————- | [tex]360^\circ[/tex] | [tex]2\pi \, r_2[/tex] | —————————- | [tex]360^\circ[/tex] | |
| [tex]c_1[/tex] | —————————- | [tex]45^\circ[/tex] | [tex]c_2[/tex] | —————————- | [tex]30^\circ[/tex] | |
| [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] Assim, temos que [tex]\qquad 2\pi \, r_1 \cdot 45^\circ=c_1 \cdot 360^\circ[/tex] [tex]\qquad c_1=\dfrac{45}{360}\cdot2\pi{r_1}[/tex] [tex]\qquad \boxed{c_1=\dfrac{r_1\pi}{4}} \, .[/tex] |
[tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] Agora, temos que [tex]\qquad2\pi \, r_2 \cdot 30^\circ=c_2 \cdot 360^\circ[/tex] [tex]\qquad c_2=\dfrac{30}{360}\cdot 2\pi{r_2}[/tex] [tex]\qquad\boxed{c_2=\dfrac{r_2\pi}{6}} \, .[/tex] |
|||||
[tex]\qquad \dfrac{\text{Área de }{\Gamma_1}}{\text{Área de }{\Gamma_2}}=\dfrac{\pi \left(r_1\right)^2}{\pi \left(r_2\right)^2}=\dfrac{ \left(r_1\right)^2}{\left(r_2\right)^2}=
\left(\dfrac{ r_1}{r_2}\right)^2=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{4}{9}$} \, .[/tex]
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