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Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)
O produto de três números naturais consecutivos é divisível por [tex]7[/tex].
Quais dos números abaixo não são necessariamente divisores desse produto?
[tex]\qquad \qquad \fcolorbox{black}{yellow}{6} \qquad \qquad \fcolorbox{black}{#ADD8E6}{14} \qquad \qquad \fcolorbox{black} {#EECFA1}{21} \qquad \qquad \fcolorbox{black}{#C1FFC1}{28} \qquad \qquad \fcolorbox{black}{#FFBBFF}{42}[/tex]
Fatos que ajudam
Propriedade 1: O produto de dois números naturais consecutivos é divisível por [tex]2[/tex].
Propriedade 2: O produto de três números naturais consecutivos é divisível por [tex]3[/tex].
Propriedade 3: Se [tex]n[/tex] é um número natural divisível pelos números naturais [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] tais que [tex]mdc(a,b)=1[/tex], então [tex]n[/tex] é também divisível pelo produto [tex]a\cdot b[/tex].
Solução
Seja [tex]p[/tex] o produto dos três números naturais consecutivos em questão. O que podemos afirmar sobre [tex]p[/tex] ?
- Pelas Propriedades 1 e 2 temos que [tex]p[/tex] é divisível por [tex]2[/tex] e por [tex]3[/tex].
- Como [tex]p[/tex] é divisível por [tex]2[/tex] e por [tex]3[/tex] e [tex]mdc(2,3)=1[/tex], pela Propriedade 3 temos que [tex]p[/tex] é divisível por [tex]2 \times 3=6[/tex].
- Como [tex]p[/tex] é divisível por [tex]6[/tex] e por [tex]7[/tex] e [tex]mdc(6,7)=1[/tex], então pela Propriedade 3 temos que [tex]p[/tex] é divisível por [tex]6 \times 7=42[/tex].
Sendo divisível por [tex]42[/tex], então [tex]p[/tex] é da forma [tex]\boxed{p=42k}[/tex], para algum número natural [tex]k[/tex]. Dessa forma:
(1) Já sabemos que [tex]p[/tex] é necessariamente divisível por [tex]\fcolorbox{black}{yellow}{6}[/tex].
(2) Como [tex] \, p=42k[/tex], então [tex] \, p=42k=14\left(3k\right)[/tex].
Assim, se [tex]k_2=3k[/tex], temos que [tex]p=14k_2[/tex], com [tex]k_2 \in \mathbb{N}[/tex] e, portanto, [tex]p[/tex] é necessariamente divisível por [tex]\fcolorbox{black}{#ADD8E6}{14}[/tex].
(3) Como [tex] \, p=42k[/tex], então [tex] \, p=42k=21\left(2k\right)[/tex].
Assim, se [tex]k_3=2k[/tex], temos que [tex]p=21k_3[/tex], com [tex]k_3 \in \mathbb{N}[/tex] e, portanto, [tex]p[/tex] é necessariamente divisível por [tex]\fcolorbox{black} {#EECFA1}{21}[/tex].
(4) Já sabemos que [tex]p[/tex] é necessariamente divisível por [tex]\fcolorbox{black}{#FFBBFF}{42}[/tex].
(5) Resta apenas analisar o [tex]28[/tex]. Observe que de [tex] \, p=42k[/tex], com [tex]k \in \mathbb{N}[/tex], não é possível escrevermos [tex]p[/tex] na forma [tex] \, p=28t[/tex], com [tex]t \in \mathbb{N}[/tex], sem supormos que [tex]k[/tex] seja múltiplo de [tex]2[/tex]. Como [tex]k[/tex] não é necessariamente um número par, [tex]\fcolorbox{black}{#C1FFC1}{28}[/tex] não é necessariamente divisor de um produto de três números naturais consecutivos que seja divisível por [tex]7[/tex].
Veja alguns exemplos:
- [tex]5\times 6 \times 7=210[/tex]
- [tex]13\times 14 \times 15=2730[/tex]
- [tex]21\times 22\times 23=10626[/tex].
Assim, alguns produtos da forma especificada no problema podem ser divisíveis por [tex]28[/tex], mas produtos dessa forma não precisam ser sempre divisíveis por [tex]28[/tex]!
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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