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Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Fácil)
Determinar o valor numérico de [tex]N[/tex],
[tex]\qquad N=\dfrac{\sqrt{23}\left(xy+10\right)}{x+y}+ \dfrac{y+2\sqrt{29}}{x}[/tex],
sabendo que [tex]x=\sqrt{23}+\sqrt{29} \, [/tex] e [tex] \, y=\sqrt{23}-\sqrt{29}[/tex].
Solução
Vamos resolver o problema trabalhando separadamente com cada parcela da soma [tex]N[/tex] proposta.
- Sabemos que [tex]x=\sqrt{23}+\sqrt{29} \, [/tex] e [tex] \, y=\sqrt{23}-\sqrt{29}[/tex], assim:
[tex]\qquad xy= \left(\sqrt{23}+\sqrt{29}\right)\times\left(\sqrt{23}-\sqrt{29}\right)[/tex]
[tex]\qquad xy= \left(\sqrt{23}\right)^2-\left(\sqrt{29}\right)^2[/tex]
[tex]\qquad xy= 23-29[/tex]
[tex]\qquad xy= -6, \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
e, também:
[tex]\qquad x+y= \left(\sqrt{23}+\sqrt{29}\right)+\left(\sqrt{23}-\sqrt{29}\right)[/tex]
[tex]\qquad x+y= \left(\sqrt{23}+\sqrt{23}\right)+\left(\sqrt{29}-\sqrt{29}\right)[/tex]
[tex]\qquad x+y= 2\sqrt{23}+0[/tex]
[tex]\qquad x+y= 2\sqrt{23}. \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Assim, de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] segue que
[tex]\qquad N_1=\dfrac{\sqrt{23}\left(xy+10\right)}{x+y}[/tex]
[tex]\qquad N_1=\dfrac{\sqrt{23}\left(-6+10\right)}{2\sqrt{23}}[/tex]
[tex]\qquad N_1=\dfrac{\cancel{\sqrt{23}} \times 4}{2\times \cancel{\sqrt{23}}}[/tex]
[tex]\qquad N_1=\dfrac{4}{2}[/tex]
[tex]\qquad \boxed{N_1=2}.[/tex]
- Por outro lado, como [tex]x=\sqrt{23}+\sqrt{29} \, [/tex] e [tex] \, y=\sqrt{23}-\sqrt{29}[/tex], então:
[tex]\qquad y+2\sqrt{29}=\sqrt{23}-\sqrt{29}+2\sqrt{29}[/tex]
[tex]\qquad y+2\sqrt{29}=\sqrt{23}+\sqrt{29}[/tex]
[tex]\qquad y+2\sqrt{29}=x[/tex].
Portanto,
[tex]\qquad N_2= \dfrac{y+2\sqrt{29}}{x}[/tex]
[tex]\qquad N_2= \dfrac{x}{x}[/tex]
[tex]\qquad \boxed{N_2= 1}[/tex].
Dessa forma, segue que:
[tex]\qquad N=\dfrac{\sqrt{23}\left(xy+10\right)}{x+y}+ \dfrac{y+2\sqrt{29}}{x}[/tex]
[tex]\qquad N=N_1+ N_2[/tex]
[tex]\qquad N=2+1[/tex],
ou seja, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$N=3$}[/tex].
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