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Problema
(A partir da 2ª série do E. M.) (Nível: Médio)
(UFJF-MG: 2007)Uma empresa fornece a seus funcionários um cartão de acesso ao seu escritório e uma senha, que é um número com quatro algarismos, escolhidos dentre os elementos do conjunto {1,2,3,4}.
Não são admitidas senhas em que um mesmo algarismo apareça três vezes ou mais.
Qual é o número máximo de senhas que poderão ser oferecidas pela empresa?
Solução
- Observe inicialmente que, se considerarmos a quantidade de senhas possíveis sem restrições, teremos
4×4×4×4=256 senhas. (i) - As senhas nas quais aparece um mesmo algarismo são: 4444; 3333; 2222; 1111.
Portanto são 4 senhas constituídas por apenas um algarismo.(ii) - As senhas nas quais um mesmo algarismo X aparece exatamente três vezes têm os seguintes formatos: _XXX; X_XX; XX_X; XXX_. Assim, fixado um algarismo X, perceba que:
- o primeiro dígito da senha _XXX pode ser escolhido de três modos diferentes;
- o segundo dígito da senha X_XX pode ser escolhido de três modos diferentes;
- o terceiro dígito da senha XX_X pode ser escolhido de três modos diferentes;
- o quarto dígito da senha XXX_ pode ser escolhido de três modos diferentes.
Portanto, fixado um algarismo X, podemos construir 4×3=12 senhas contendo exatamente três algarismos iguais a X. E como podemos escolher o algarismo X de 4 maneiras, existem 4×12=48 senhas com três algarismos iguais. (iii)
Finalizando, por (i), (ii) e (iii), o número máximo de senhas que poderão ser oferecidas pela empresa em questão é dado por
256−4−48=204.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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