.Sala para leitura_001: Contagem de Divisores

Como calcular a quantidade de divisores pares de um número natural não nulo?

 Probleminha2

Leia o texto abaixo e tente entender.
Vamos abordar de forma clara e objetiva esse assunto.

Contagem dos divisores naturais de um número natural

Inicialmente, faremos algumas observações para ajudar no entendimento do texto.
Sabemos que os divisores positivos de um número natural [tex] \, n[/tex] são todos os números naturais [tex] \, p[/tex], [tex] \, p>0[/tex], tais que [tex] \, n \, [/tex] dividido por [tex] \, p \, [/tex] deixa resto zero.
Em outras palavras, dizemos que [tex] \, p \, [/tex] é um divisor positivo de um número natural [tex] \, n \, [/tex] se as seguintes condições forem simultaneamente satisfeitas:

    (i) [tex] \, p[/tex] é um número natural;
    (ii) [tex] \, p\gt 0[/tex];
    (iii) o resto da divisão de [tex] \, n \, [/tex] por [tex] \, p \, [/tex] é zero.
[tex]n[/tex] [tex]p[/tex]
[tex]\textcolor{red}{0}[/tex] [tex]m[/tex]

Com isso, se [tex] \, p \, [/tex] for um divisor natural de um número natural [tex] \, n[/tex], então existe um número natural [tex] \, m \, [/tex] tal que [tex] \, n=p\cdot m \, [/tex].
Indicamos esse fato por [tex] \, p|n \, [/tex] (Lemos [tex] \, p \, [/tex] divide [tex] \, n[/tex].).

  • Simbolicamente, [tex] \, p|n \, [/tex], se [tex] \, n=p\cdot m[/tex], com [tex] \, m \in \mathbb{N}[/tex].
Observações Importantes:

1. Quando um número natural [tex] \, n[/tex], [tex] \, n>1[/tex], possui como divisores naturais apenas ele próprio e a unidade, dizemos que [tex] \, n \, [/tex] é um número primo. Desta forma, são números primos: [tex]2[/tex], [tex]3[/tex], [tex]5[/tex], [tex]7[/tex], [tex]11[/tex], [tex]13[/tex], entre outros.
Existem infinitos números primos e isto pode ser demonstrado. (Tente provar! Caso não consiga, clique no botão a seguir.)

Suponha que exista uma quantidade finita de números primos, digamos [tex]k[/tex], e sejam [tex]p_1,\ p_2,\ \ldots,\ p_k[/tex] os números primos existentes.
Considere o número [tex]\boxed{M=\left(p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot \ldots \cdot p_k \right)+1}\, .[/tex]
O Teorema Fundamental da Aritmética (Se não se lembra desse resultado, visite esta Sala), nos garante que [tex]M[/tex] pode ser decomposto em fatores primos; logo, existe pelo menos um primo [tex]q[/tex] que divide [tex]M.[/tex] Mas estamos supondo que só existem [tex]k[/tex] números primos, então [tex]q[/tex] deve ser igual a algum dos primos [tex]p_1,\ p_2,\ \ldots,\ p_k[/tex], ou seja, [tex]q=p_i[/tex], com [tex]1 \leqslant i \leqslant k.[/tex]
Dessa forma, [tex]p_i[/tex] é divisor do produto [tex]p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_k\,.[/tex]
Assim, [tex]p_i[/tex] é divisor de [tex] M=\left(p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot\ldots\cdot p_k \right)+1[/tex] e divisor do produto [tex]p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot\ldots\cdot p_k[/tex]; portanto, temos que [tex]p_i[/tex] é também divisor da diferença [tex]M-\left(p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot\ldots\cdot p_n \right)[/tex]. No entanto, isso implica em [tex]p_i[/tex] ser divisor de [tex]1[/tex] e, portanto, [tex]p_i=1.[/tex]
Mas essa conclusão é um absurdo, já que [tex]1[/tex] não é primo!
Observe que a suposição da existência de uma quantidade finita de números primos nos leva a um absurdo; portanto, existem infinitos números primos.

O primeiro matemático a demonstrar esse fato foi Euclides (matemático grego cuja biografia você pode encontrar na Biblioteca dos Clubes).

2. Fatorar um número natural significa escrevê-lo como um produto de fatores primos distintos com expoentes naturais.

3. Neste texto consideraremos apenas os divisores naturais de um número natural.

Antes de respondermos à pergunta inicial – Como calcular a quantidade de divisores pares de um número natural não nulo? – vamos responder uma pergunta mais geral:

Como determinar a quantidade de divisores de um número natural não nulo?

Veremos alguns exemplos simples, antes de generalizarmos a contagem dos divisores de um número natural.

Exemplo 1: Quantos são os divisores naturais do [tex]1[/tex]?
Resposta: Apenas um: [tex]1[/tex].

Exemplo 2: Quantos são os divisores naturais do [tex]2[/tex]?
Resposta: São dois divisores: [tex]1[/tex] e [tex]2[/tex].

Exemplo 3: Quantos são os divisores naturais do [tex]4[/tex]?
Resposta: São três divisores: [tex]1[/tex], [tex]2[/tex] e [tex]4[/tex].

Exemplo 4: Quantos são os divisores naturais do [tex]12[/tex]?
Resposta: São seis divisores: [tex]1[/tex], [tex]2[/tex], [tex]3[/tex], [tex]4[/tex], [tex]6[/tex] e [tex]12[/tex].

Mas como faríamos para contar a quantidade de divisores naturais de um número,
se ele não fosse tão pequeno como nos exemplos mostrados?

Podemos utilizar para isto o Princípio Fundamental da Contagem. (Se você não se lembra desse Princípio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)

  • Vejamos, por exemplo, como determinar a quantidade de divisores de, por exemplo 120, utilizando o Princípio Fundamental da Contagem.

    • Inicialmente, fatorando o número [tex]120[/tex], encontramos que [tex] \, 120=2^3\cdot 3^1\cdot5^1[/tex]. Veja:

    [tex]\begin{array}{r|l}120 & 2\\60 & 2\\30 & 2\\15 & 3 \\5 & 5 \\1 & \boxed{120=2^3\cdot3^1\cdot5^1}\end{array}[/tex]

    Afirmação: Todos os divisores naturais do [tex]120[/tex] serão da forma [tex]2^x\cdot 3^y\cdot5^z[/tex], na qual

    [tex]\qquad \bullet \, \, x=0 \, [/tex] ou [tex]1[/tex] ou [tex]2[/tex] ou [tex]3[/tex];
    [tex]\qquad \bullet \, \, y=0 \, [/tex] ou [tex]1[/tex];
    [tex]\qquad \bullet \, \, z=0 \, [/tex] ou [tex]1[/tex].

    Você saberia justificar essa afirmação?


    Deste modo, há:

    • [tex]4[/tex] possibilidades para o valor de [tex] \, x[/tex];
    • [tex]2[/tex] possibilidades para o valor de [tex] \, y[/tex];
    • e [tex]2[/tex] possibilidades para o valor de [tex] \, z \, [/tex].

    Pelo Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo, o número total de possibilidades de escolhermos, simultaneamente, um valor para [tex] \, x \, [/tex], um valor para [tex] \, y \, [/tex] e um para [tex] \, z \, [/tex] será dado pelo produto [tex]\boxed{4\cdot 2 \cdot 2=16} \, .[/tex]
    Portanto, o número [tex]120[/tex] possui [tex]16[/tex] divisores naturais.

O raciocínio acima, pode ser genericamente resumido da seguinte forma:

Dado um número natural [tex] \, n[/tex], [tex] n>1[/tex], cuja forma fatorada seja
[tex]\qquad \qquad \, n=2^x\cdot 3^y\cdot 5^z \cdots[/tex], com [tex] \, x, y, z, \cdots \in \mathbb{N}[/tex],
a quantidade de divisores de [tex] \, n \, [/tex] será igual a [tex]\boxed{(x+1)\cdot (y+1)\cdot (z+1)\cdots} \, .[/tex]
Assim, se você conhece a fatoração de um número natural [tex]n[/tex] como produto de potências de números primos, basta fazer o produto dos expoentes da fatoração acrescidos de uma unidade cada para determinar a quantidade de divisores que o número [tex]\, n\, [/tex] tem.

Você saberia justificar essa afirmação?

Agora, já podemos tratar da pergunta inicial:

Como calcular a quantidade de divisores pares de um número natural não nulo?

Particularmente, querendo descobrir quantos divisores naturais pares o [tex]120[/tex] possui, basta utilizar o procedimento citado acima, sem adicionar [tex]1[/tex] ao expoente do fator [tex]2[/tex]. (Você saberia o porquê dessa afirmação?)
Assim, o [tex]120[/tex] possui [tex]3\cdot (1+1)\cdot (1+1)=12[/tex] divisores pares, a saber: [tex] \, 2, \, 4, \, 6, \, 8, \, 10, \, 12, \, 20, \, 24, \, 30, \, 40, \, 60, \, 120[/tex].
Para o caso geral, esse raciocínio pode ser assim resumido:

Dado um número natural não nulo [tex] \, n[/tex], [tex] \, n>1[/tex], cuja forma fatorada é
[tex]\qquad \qquad \, n=2^x\cdot 3^y\cdot 5^z \cdots[/tex],
a quantidade de divisores naturais pares de [tex]n[/tex] será igual a [tex]\boxed{ \, x\cdot (y+1)\cdot (z+1)\cdots} \, .[/tex]

A quantidade de divisores ímpares de um número natural [tex] n[/tex] é obtida subtraindo a quantidade de divisores pares da quantidade total de divisores naturais de [tex] \, n \, [/tex].
No caso particular de [tex]120[/tex], temos [tex]16-12=4[/tex] divisores ímpares, a saber [tex]1, \, 3, \, 5, \, 15[/tex].

De maneira mais formal, seja [tex] \, n \, [/tex] um número natural, [tex] \, n>1[/tex].
Se
[tex]\qquad \qquad \boxed{ \, n=2^{x_0}\cdot p_1^{x_1}\cdot p_2^{x_2}\ldots \cdot p_r^{x_r}}[/tex]

é a decomposição de [tex] \, n \, [/tex] como produto de potências de números primos distintos, então a quantidade de divisores de [tex] \, n \, [/tex] será igual a

[tex]\qquad \qquad \boxed{(x_0+1) \cdot (x_1+1) \cdot (x_2+1) \cdot \ldots \cdot (x_r+1)} \, [/tex].

Em particular, a quantidade de divisores pares de [tex] \, n \, [/tex] será
[tex]\qquad \qquad \boxed{x_0\cdot (x_1+1) \cdot (x_2+1) \cdot \ldots \cdot(x_r+1)} \, .[/tex]

É importante observar que o primo [tex]2[/tex] não precisa necessariamente ser divisor de [tex] \, n \, [/tex]. (Tente entender essa observação e verifique cuidadosamente para esse caso as fórmulas apresentadas.)

É bom lembrar que o número [tex]0[/tex] admite infinitos divisores.

Esperamos que você tire proveito da explanação feita aqui.
Nosso objetivo é tentar sempre facilitar o seu entendimento sobre assuntos importantes da Matemática..

Equipe COM – OBMEP

Setembro de 2017.

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